各位晚安 歡迎大家
這是我們這一學期
科學史沙龍的第一場
各位有許多是老朋友
就跟往常一樣
可是我想有許多是
以前沒有參加過沙龍的朋友
我簡單介紹一下科學史沙龍
科學史沙龍在我們台大case
已經是辦了五年了
那早些時候是在白天辦
那從兩年前吧
我們是一年兩年前
我們是把它改到晚上
當然是希望說這個換一個時間
就大家是吃完晚飯後或前
來到這邊輕鬆的
就以某種這個看電影的心情來聽沙龍
那也因為如此 我們這個沙龍當然要強調的是
它是有跨領域性質
就它不是它的目的不是說在這邊來特別教你什麼樣子的專業的科學知識
而是要來談一些有趣的科學發展的歷程
裡頭的過程裡頭的人物歷史
那我們辦的形式是
這個每一場都會找二至三人
平常最多的情況是兩人
就是這個二至三人來就某一個
有重疊的主題
那各自發表30到40分鐘的演講
這30分鐘40分鐘這已經
跟相較平常正規的演講
以我們case來講
經常是在禮拜六那個演講
都是差不多要到一小時二十分鐘
相較來講是那個演講的一半時間
所以算是短講
雖然說真正的短講
可能會更短 差不多二十分鐘
所以我們就是有安排兩位朋友
來給一個這個科學史的短講
那中間是不休息的
那演講完之後呢
我們會有一個比較長的QA
所謂QA就是沙龍
就是跟大家交流對談
那這個是我覺得是很棒的一個時間
那麼就我參加的經驗
在沙龍那段時刻
大家都可以就任何問題都拿出來談你們可能以前
心中曾經想知道
可是其實又找不到人問的問題
在這個時候就可以
跟我們的講者
這個來對談
那
我剛剛已經講過
這個場合是一個跨領域的場合
所以我們這個科學史沙龍並不局限在
這個某一個特定的領域
例如說我們這一集第一場是數學
數學方面
這個大家已經看到我們廣告了
OK 這個嚇死人的非歐幾何
幾何就已經嚇人了
還來一個非歐幾何
尤其是有一個非的字眼
關在你的作為形容詞
這個是你一般就會覺得要皺眉頭的
你要有一個學問
一開始就是非
就是它不是某種東西
那它是什麼東西呢
它不是某種東西
所以這個學問就是不是歐氏的幾何Anyway
所以我們這個第一場是談這個數學
可是而後我們就會這個的演講
就是其他的自然科學領域
比如說物理化學
有時候甚至是工程
有時候是人文的
那麼我相信你們在進來的時候
在前面我們的這個桌上有看見
我不知道大家是不是都有拿一份
我們的這個庫卡
就是把我們以後的演講都有列下來
當然我們沙龍並不純然是在台大這個場地辦
我們有時候在週末也在外地在辦
也包括到南部的縣市去辦
OK 所以我先跟大家簡單再一次的說明沙龍的情況
所以歡迎各位
而後有時間
這個禮拜二的晚上
最後每個月最後一個月的禮拜二
最後一個禮拜的
禮拜二晚上
我們都有辦這個活動
那也歡迎大家這個都來
Ok那你們如果覺得
真的是很有趣
也歡迎大家
跟你們的朋友介紹
那我也請大家
我不知道是不是大家都已經上網
有去登錄是我們CASE之友
就是我們的電子報
都會固定
如果你們登錄的話
我們都這個都會送給各位
就是我們CASE的
所有的活動的消息
在電子報上面都有
所以我也歡迎大家
如果你還沒有登記的話
可以上網去註冊
Ok 好那今天的主題是數學
那我們請了兩位這方面的專家
第一位是洪萬生老師
洪老師其實是科學史沙龍的常客
不能叫他客人
他其實是在我們科學史沙龍
講過這個很多次
因為他自己就是做這個數學史的
是台灣少數這個他博士論文
是以數學史為主題的
我不曉得台灣
以數學史為主題的博士
就專業博士
有沒有一個手指頭數得完
OK
那就算是數不完
洪萬生是我所知道的
裡頭的年紀
就是說應該怎麼講
大老
OK
就是他是
他是裡頭最資深的
那其他的博士
可能都跟他有關係
他帶出來的
這個做數學史的博士
那所以洪老師
他一方面他是做數學史
然後他也出版許多的數古書
大家只要上Google
你打洪萬生
就可以看到他好多的文章
他所出版的他的著作的書
如果你要看他過去的
在這個科學史沙龍的演講
那麼同樣你只要上我們的case
去搜尋就打洪萬生
就看到他過去的這個演講
所以他是第一位講者
那第二位講者
翁秉仁老師是台大數學系的
這個老師
那他也是我所知道在數學界
我在數學界朋友裡頭
他也是少數對於數學史
有特別的研究這個愛好的 興趣的
那他也是有很多的這個著作
所以同樣你們只要打翁秉仁
也是可以看到他所出版的書
他除了出版數古書之外
有一次我到台大的出版社在我們圖書館總圖旁邊
地下室有一個出版社
我才知道說他出版了一本微積分
而且是很熱賣的微積分
就我所知
所以大家也許
我不曉得啦
我只是告訴大家這個information
你們可以去圖書館看一看
我們翁老師出版的這個微積分教科書
那翁老師也是今天要來講非歐幾何
那我剛才已經跟他確認了
他在聖地牙哥念數學博士的時候
他的指導教授是
這個微分幾何大師丘成桐
所以他這個就是
這個叫做什麼
這個科班出身
那來講這個主題
我想是再恰當不過
那我剛已經講過了
我們接下來
他們兩位演講中間是不休息的
所以他們就是洪老師先講完之後 翁老師就接著講
完了以後我們有一個簡短的五分鐘十分鐘的休息
然後那個時候再來 我們大家再來一起聊這個
謝謝 現在就請
謝謝各位老師 各位同學
各位女士先生大家晚安剛剛高老師提到這個非歐
這兩個字不是歐氏的意思
我記得以前我碰到一位先生
他覺得非歐兩個字看起來
應該是人的名字
所以他用這個非他不喜歡
他把它改成菲律賓的菲
這當然是很好笑的事情
Ok 好
那這個是演講摘要各位都看過了
那我想我們就跳過去
我們就直接進入主題
這個是我一個老師的老師
我蠻喜歡他的文章的
他說如果你問數學家
為什麼數學家會給你一個證明
但是因為我是一個歷史學家
所以我會講一個故事
我希望講一個
講一點故事呢 讓翁老師待會來講的時候會比較方便一點
我們先營造一個氣氛
這種故事的氣氛很重要
那
Grabiner
的
文章後面參考文獻會有
他會特別提到說歐基里德的定義的平行線
各位如果看底下這個definition1.23的時候
就可以知道說平行線就是直線
然後在同一個平面上面
然後呢它特別說明叫做being produced
indefinitely
這個用字其實是蠻特別的
各位看一下produced
indefinitely
它不是infinity indefinitely
in both directions它不會相交
在任何方向
在任何方向都不會相交的直線
那這樣的一個定義
其實是滿有深意的
這是第一冊
幾何本第一冊的最後一個定義
那這個Grabiner他特別提到說
歐基里德他定義平行線
就是所謂的不會相交
但是呢
我們從來沒有辦法
沒辦法顯示
直接的顯示說這兩條直線不會相交
因為基本上在我們的直觀的這個範圍之內
基本上看不到這個
所以所謂的平行線究竟是什麼意思呢
有些人會認為說歐基里德所講的那個世界
它的平面那個世界基本上是一個有限的世界
那命題1.27待會我們會特別提到那不管怎麼說
我這個短講的主要用意是希望能夠告訴大家說
數學家經常用很簡單的論證
就可以告訴我們
在 就可以幫助我們脫離經驗跟直觀的層次
也可以去論證
可以去想像一些沒有辦法觀察到的東西
我們剛剛在跟那個張哲周老師聊天的時候
特別提到無限
數學家用很簡單的一一對應的觀念
我們可以把無限分等級
這個是數學帶給我們一個最大的驚喜
那非歐幾何的一個發現
當然會牽涉到一種對於
比如說18世紀的一些物理學家、哲學家
乃至於數學家本身的一種思想上的一種抗拒
我待會會特別提到康德的一點點東西
但是不管怎麼說
這個這樣的一個非歐幾何學
這個學問還是發現了
它所依賴的其實是一種很簡單的論證跟邏輯
就是我們超越了所謂的直觀和經驗
那當然用到的也是很簡單的一個論證方法
就是所謂間接證法
或者你們喜歡叫反證法
待會我們就可以看到很簡單的舉例
OK
那因為這個非歐幾何牽涉到一個所謂的第五設準
那設準這個字的英文字是postulate
我特別去查一下德文Postulat
為什麼特別提到Postulat
主要理由是因為
待會我們會講到愛因斯坦
這個第五設準 我們待會會進入這個
幾何原本的英文網頁
我們待會再看
不管怎麼說 在這個設準
這一組裡面呢 它
有一個
有一段有一個sentence
這個sentence 一般人
會比較容易忽略
叫Let the Following be
Postulated
那總共有五個
第五個就是所謂的第五設準
它前面加一個Let
就表示說是一個授詞
承接前面那個句子
就是兩條直線
如果被第三條直線所結
同側的內角如果小於兩個直角的合的話
那麼這兩條直線
繼續延長下去
就會在這一側相交
各位看一下這邊也是一樣
用produce indefinite
各位回想一下剛剛那個平行線的定義
就可以看到這個其實是相互呼應的
OK 那這個postulate跟axiom
或者是在common notion之間的一種對照
我們這邊可以稍微講一下
我特別去找一下
愛因斯坦的狹義相對論的英文版
我德文版沒有找到
不過我想他的翻譯應該是很準確
愛因斯坦有段話特別提到說
We will raise this conjecture
the purport of which will hereafter
be called the principles of relativity
to the status of a
postulate
and also introduce
another postulate
which is only apparently
irreconcilable with the former, namely that light is always
propagated in empty space with a definite velocity
which is independent of the state of motion of the emitting body.”
這是愛因斯坦特別提到這個相對論的時候
他說我把這個東西當成一個所謂的設準
OK
愛因斯坦為什麼不用Axiom
而是用所謂的Postulate
我們來看一下
我們來看一下亞里斯多德當時在建立他的所謂的
這個Theory of Statements的時候
他怎麼區別所謂的設準跟所謂的共有概念
共有概念我們通常把它叫公理
我們現在數學家通常不會做這種氣氛的
應該叫公理或者公設
但是我現在講的是亞里斯多德的東西
所有演繹科學都接受的根本真理
我們通常會把它叫做common notion
或者共有概念
譬如說等量相加 齊合相等
等量相減 齊差相等等等
這些東西我們現在後來翻稱為所謂的公理
那麼在特定科學
比如說幾何學裡面的根本真理
我們會特別把它叫做special notion
我們把它翻譯成所謂特殊概念
那這個東西後來就被稱為設準
這個設準是台灣哲學家的翻譯
我覺得翻譯得非常精準
因為它是假設成為準則的意思
好 那我們來看一下
歐幾里得其實盡可能的延遲使用第五設準
所以它其實是鰻掙扎的
我們根據這個數學起源
這本中譯本
那裡面有第六章的第九節
它特別
它的主題就是平行線的相關的理論
那麼歐幾里得一直到
證明第一冊的第29命題的時候
他才應用到第五設準
我們看一下命題1.27
如果兩直線被第三條直線所截
使得內錯角相等則兩直線平行
那這個定理的逆定理沒辦法證明
這個逆定理我們留給在場的同學
自己回去想辦法把它寫出來
那命題1.28呢
如果兩直線被第三條直線所截
則當滿足下列條件之一的時候呢
兩直線會平行
比如說同位角相等
或者同側內角的合
等於兩個直角
因為歐幾里得沒有平角的定義
所以他講到
所謂的180度
或者平角的時候
我們所謂平角的時候
他一概用兩個直角的合
來說明
命題1.29
如果兩個條平行線
被第三條直線所結
則內側角相等
同位角相等
同次內角之合
等於兩個直角
那這個證明的時候
就第一次用到第五設準
所以這個總共第一次
總共48個命題
幾乎是一半了
幾乎是一半的時候
他才用到所謂的這個第五設準
可見他對第五設準
是不是他一直還自己保留一種
一種懷疑
說這個東西是不是適合
把它當成一個基本的角色
這個是大家
很喜歡猜測一件事情
那麼命題1.30
平行同一直線的兩直線平行
1.31就是設定
給定一條直線跟直線外
一點
做一條直線
通過這一點並與
已知直線平行
那這個是第一次做圖
平行線存在性的第一次的做圖
所以
命題1.31其實蠻重要的
那命題1.32就是我們所熟悉的三角形外角等於不相鄰的內角合
三角形的內角合等於兩個直角
這是我們大家所熟悉的
所以當然如果你想要去證明
三角形三內角合等於兩個直角的合
然後利用這個跟所謂的平行公設
或者第五設準
設準能夠證明它等價的時候
這個其實不太容易
各位不妨試試看
Ok 那我們剛剛提到這本數學起源這本書
它給我們很多很寶貴的資訊
我從這本書獲益良多
它特別在這個討論到第五設準
跟所謂的平行公式這兩者的等價的時候
它特別補進了兩個命題
一個命題是命題A
如果一條直線跟兩條直線平行線的其中一條直線相交的時候
它也會跟另外一條相交
那補的命題B叫做過給定直線外一點
不超過一條直線會給定直線平行
那這兩個命題跟我們前面所介紹過的29A 29C
還有第五設準
我們把它結合起來的時候
我們可以看如果第五設準成立的時候
29A這個命題會成立
然後這個
那依此引出命題A會成立
命題B會成立
如果命題A B成立的時候
可以證明29A成立
29C成立
那最後第五設準會成立
因此呢
這個命題B跟設準
第五設準是等價的
那如果我們再把它跟命題31結合的時候
我們可以得到我們所熟悉的
平行公式的形式
這個版本通常叫做Playfair版
這過給定直線外一點
剛好存在唯一的一條直線
平行給定直線
這是我們所熟悉的平行公式
OK 然後這裡面呢
我們再看一下數學起源的進一步說明
他說這個第五設準被命題B取代
幾何結構並未改變 因此如果我們用不同的假設
出發的時候 我們其實可以建立相同的幾何系統
那這邊有很簡單的說明
那命題1.27是幾何原本第一冊中
命題本身正確 但它的逆定理卻無法被證明
唯一的例子 這個我們剛剛講過了
OK
我們來看一下那因為我們在這一講會觸及所謂的數學真理
所以我們稍微給一個很樸素的定義
就是Snow is white
這個statement is true if snow is white
這是一個很樸素的定義
我們通常把它叫去括號法則
也就是說一個敘述句或者一個命題
必須在這個現實世界reality有所指涉
也就是說其中所涉的概念必須要有參考物
如果沒有參考物的時候
我們就很難說它是真或者假
那這裡面當然牽涉到數學知識的本質啦 OK
好 那我們再進一步看一下這個Morris Kline這本書
這是翁老師翻譯了一本 這個書非常重要
這裡面愛因斯坦有一句名言
剛好在這個脈絡底下來講 是蠻適合的
他說倘若數學命題是對現實的描述
他們就不是確定的
所以這裡面他用到兩個很重要的term
一個是reality 一個是certain
當然certain是形容詞
倘若他們是確定的
那他們就不是描述現實
那數學知識的本質究竟為何呢
數學譬如幾何學的確定性
是基於有效的邏輯推論
也基於設準為真嗎
那這些東西都應該要連結在一起
而且也可以連結在一起
那康德有關這個空間的思辨呢
康德主張歐氏幾何學是一種綜合先驗的知識系統
它是有關空間世界的唯一真實的幾何學
既然如此 當然不可能有非歐氏的幾何學了
那康德問題就是說為什麼接受數學公設跟定理
這些都是
所謂的真理呢 這當然
無法單單藉由經驗來確認嘛
但是如果可以回答
數學知識如何形成的話呢
那麼前面這個問題當然就可以回答了
所以康德就把經驗論跟理性主義做一個結合 他說
我們人的心靈擁有時間空間的形式
時間空間是知覺的模態
康德把他叫做直覺
我們依據這些心靈形式來感覺 組織和理解我們的經驗
他們就像模子塑造麵糰成形一樣的塑造經驗
心靈把這些模態施加在接受的感官印象上
把這些感覺納入內定的模式之中
這個也是從那個
數學確定性的失落那本書
裡面所引述出來的
這些話其實都寫得非常的清楚
我們這個就跳過去
那在丈量世界這本小說跟電影裡面
他可能是虛構的高斯去訪問康德
他裡面有一段對話
我把那個故事裡面的對話把它抄出來
高斯說我有一個想法找不到人談
那我似乎覺得歐幾里得的空間並不像純粹理性批判裡所認為
是人類的一種直觀形式
我們所有的經驗都必須服膺於它
歐氏空間其實是一種幻覺 是一場美夢
真相其實很可怕
兩條直線永遠不可能相交
的命題似乎從來沒有被證明過
歐幾里得自己也沒有證明
沒有任何人證明過
他絕不像我們認為那樣
認為那樣的是不證自明的
OK 然後康德聽了半天
最後他講了幾句話說
叫伙計去買香腸
就是這樣子
這是 這個對話在小說
或者電影裡面都非常經典
正宗推薦各位去看這部電影
OK 好
那我們再看一下那個
爺爺的證明題裡面有一段話是在講Saccheri的自白
Saccheri也可以翻成
薩開里反正怎麼翻都沒有關係他是義大利神父
他是被認為是第一個
證明
這個第五設準的一個
相關議題的一個很重要的一個數學家那這個是爺爺的證明題小說家的一個說明
我們就不多說了 各位回去自己看一下這個
我待會會看一下這個website
那這個Saccheri他是證明說
如果我現在給一個四邊形
那角A跟角B都是直角
然後呢AD跟BC會相等
那它這樣子就可以證明
角D跟角C會相等
可是角D跟角C相等
它有三種情況
一種是C跟D都是直角
一種C跟D都是銳角
一種C跟D都是鈍角
我們用HRA
用HOA
用HA來表示
那個O是那個鈍角
那A是銳角
那Saccheri進入就是說
如果平行公設成立
那麼HRA就會成立
反之呢 如果HRA不成立的時候
也就是平行公設不成立
而代之以HOA跟HAA
依序在這個HRA HOA HAA的條件底下
Saccheri證明出任何一個三角形的內角和
分別等於大於和小於兩個直角 OK
然後呢 他想要藉由排除HOA跟HA來得其所證
也就是證明HRA或平行公設成立
他成功的排除HOA
可是他們企圖排除HAA的證明的時候
卻基於下面這個假設
這個假設基本上我們沒有辦法接受
所以他是功敗垂成
他本來想要證明第五設準是其他的設準一個結果 結果沒有成功
不過他有提出一些很重要的一個突破口
各位從剛剛這個地方大概可以看得出來
右邊這個圖
希望各位可以看一下
這個設準一到四
Saccheri的四邊形
然後上面是銳角
中間是直角
底下是鈍角的假設
想辦法去證明第五設準成立
如果這個可以成功的話
第五設準就是一個多餘的設準
OK 好 快一點
OK 這是高斯回信給他好朋友
這個Bolyai的兒子
做出的非歐幾何 那高斯給他的信裡面
講得讓那個年輕人非常不高興
他說commenced by saying that I am unable to press this Work,
you would certainly be surprised for a moment.
but I cannot say otherwise.
to praise it, would be ton praise myself.
這個話講的有點重
因為年輕人才20歲
所以他們臉皮比較薄
不過最後高斯倒是有一段話
我覺得還是講得蠻客套的
it is therefore a pleasant surprise for me that I am
spared this trouble, and I am very glad that it is just the son of my old friend
who takes precedence of me in such a remarkable manner.
那因為時間的關係所以我們趕快進入結語
那所以發明了非歐幾何學 一樣的我們引述
數學確定性失落這本書裡面的
106頁這個薩切瑞或薩開里
如果非歐幾何指的是一組
包括非平行公設的
公設系統所推導出來的結果的話 那功勞最大
就是薩開里那如果非歐幾何的創立
指的是認識歐氏幾何之外 另有其他幾何
那麼功勞應該歸給克呂格跟蘭伯特
那最後呢 歐氏幾何並非物理空間所不可缺少
沒有任何先驗的根據來擔保
來確保它的物理正確性
這項領悟並不需要任何技術性的數學新發展
因為所有技術性工作都有完成
第一個得到這種洞見的就是高斯
這是一個這個貢獻的一種分配
後面是我的參考文獻
請各位指教
謝謝大家
我繼續講這個故事
不過我在準備的時候
因為我不太確定這個沙龍是怎麼進行
我剛剛聽到其實是一個講故事的方式
來進行這個課題
讓我很擔心
因為我很難保證我等一下的PowerPoint
或者簡報是一個故事這樣子
那但是因為我的時間
說起來也不是真的很多
所以呢我可能不得已還是要用
某一種比較快的方式帶過
但是我希望呢
大概可以讓大家知道一下
我今天要談的事情
首先先讓各位看一個圖
那這個橘色的線呢
是大致上剛剛洪老師
他所談的這條路線
就是從這個歐幾里德開始
這個歐氏幾何的發展
那當然經過了很多的過程
大家希望證明這個平行公設是對的
那原因當然是因為平行公設是這個
歐幾里德本來這個原本裡面
最值得懷疑的一個
因為沒有很明確的
因為他牽涉到一個無窮遠的問題
那所以大家用了很多方式
想要去證明他
當然最重要的啟發性的就是剛剛洪老師講這個Saccheri
他本來想要排除某個東西
沒想到反而推出了一些新的東西
這個事情再往後一直到高斯、Bolyai跟Lobachevsky
這三個尤其是後面兩個
其實歷史上說是發明了非歐幾何的人那這條路線是剛剛洪老師講的
那我今天要談的事情
其實不是這條橘色的線
它比較像是在做這個反政府
反革命的這個
就是說如果把歐氏幾何
當作一個非常重要的真理
那其實這個綠色的線
其實就是在剛開頭
有個地下組織
然後開始慢慢的想辦法
要顛覆這件事情的一個新的看法
所以這整條綠色的線
其實代表的是一個新的幾何
那這新的幾何觀
大概在19世紀初到19世紀中間
開始慢慢的成型
那最重要的人物是高斯跟Riemann這個黎曼
那我把那個紅色的把它標在那邊
就是這個位置
那表示高斯在這兩條路線上
其實都非常的重要
一方面他收拾了這個橘色這條線的結尾
關於高斯到底有沒有
知不知道說這個非歐幾何裡面的
很多重要的定理
這我等到後面再來談
但是另外一方面呢
因為他的研究的關係
他也開啟了新的幾何的看法
那基本上就是綠色的這條線
這是大概今天我要講的就是綠色這條線 那我在這前面我先講一件事情
就是歐氏幾何在19世紀之前
大概是被認為是絕對的真理
那剛剛洪老師也提到
康德在1781年
在他很重要的一本著作
純粹理性批判裡面
用了一種很巧妙的論證
剛剛其實洪老師有談到這個論證
證明這個歐氏幾何必須是真理
因為我們的知識
我們能夠產生知識
是因為我們把外界的東西
收到我們的心理裡面來
然後才去感應它
應該是說感知它
產生這個經驗
這個經驗本身不是非常的束縛
它事實上是被經過加工的
中間一個加工的東西
就是我們的時間跟空間的概念
因為你加工你經驗的時候
用到了這個空間的概念
這個空間概念事實上就是歐氏幾何
因此歐氏幾何必須是真理
這是康德的論證
但是如果就這個非歐幾何來講
其實有兩件 我舉了兩個例子
大概就是從這第二個跟第三個
事實上從天文學跟航海
我寫錯了 是航海
需要而發展的球面幾何
球面幾何就是在球上面發展相關的幾何
這個大概從希臘時代就開始了
從現代的觀點
其實球面上的這種幾何是一種非歐幾何
但是從古代以來沒有任何人是這樣想的
理所當然的把它附屬於歐氏幾何
這個是作為一個佐證
就是歐氏幾何是一個他們認為是絕對的真理
我發展一個球面上的幾何
沒有人認為這個表示它是一個不是歐氏幾何的東西
反而是因為這個球其實是落在三維空間裡面
想像是歐氏空間裡面的一個子集合
所以它發展上面的幾何
另外一個是15世紀我們知道
數學上開始發展透視
因為文藝復興的關係
開始發明畫畫的技巧
因此產生透視
產生無窮原點這個概念
這些射影幾何的概念
但是也沒有人把它當作是非歐氏幾何
因為這當然是一種幾何的東西
因為你在畫圖的時候那些線
你有很多幾何的概念在裡頭
但是你當然可以說這個不是歐氏幾何
但是也沒有人這樣想
它只是關聯於歐氏幾何的發展的領域
所以我們今天談非歐幾何
其實有兩個重點
有兩個重點是要先確立的
第一個談非歐幾何表示
你要把絕對的歐氏幾何這個空間的概念
把它給丟掉 把它給揚棄
然後把實際的空間還給
在後面是common
最重要是前面那一句
就是把實際的空間還給物理學
然後把歐氏幾何想成是一種可能的幾何而已
雖然它可能是最簡單的幾何
然後第二件事情
非歐幾何必須相應的處理
本來歐氏幾何能夠處理的那些幾何概念
包括長度角度面積體積所有的這些東西
我們要基於這兩個這兩件事情來談這個非歐幾何
就是這條我剛講這個綠色的線的發展
講這條線我必須回到前面這個圖
那我要從這個剛開頭開始講
所以這個一開頭我會先Descartes跟Fermat
最重要的是要談解析幾何
也就是各位在高中學的解析幾何或座標幾何
這個幾何是非常非常清楚的是一個歐氏幾何
它的唯一的差別是把歐氏幾何給座標化
所以我打這個虛線表示說
其實一開頭Descartes跟Fermat發展解析幾何
其實是一個純粹的歐氏幾何
然後在這個發展過程的當中
這個後面的那一段我等下下一頁再講
所以我先把這個坐標幾何的一些歷史東西先講一下
所以這個主要的推手是Descartes跟Fermat
我們熟悉的直角坐標
為什麼叫笛卡兒坐標是因為這個原因
這個大概是17世紀剛開頭的事情
解析幾何最重要的事情就是跟大家在高中
或從國中其實大家已經開始學的東西一樣
就是幾何你一開始坐標化之後
你可以想辦法
用代數的方式來處理幾何問題
或者你用幾何的方法去重新理解
什麼叫代數的式子
那這個是解析幾何一個非常重要的
功能
那歷史上呢是因為
那這代數當然不是
一開頭就有了
在16世紀末的時候
有個義大利的數學家叫Viète
他開始推動開始使用代數符號
數學家開始想辦法把這個代數符號
把它用到幾何問題來
那因此整個開啟了歐氏幾何的全新的格局
這個格局指的是好幾件事情
第一個他能夠處理的幾何的東西變多了
因為如果是普通的歐氏幾何
你能處理的東西是直線
是平面圖形然後是一些標準的立體圖形
其實你並沒有那麼多東西可以處理
所以我們通常在國中處理的幾何三角形
正方形 平行四邊形等等
像這類的東西 包括圓
但是一旦你開始運用代數的方式
來幫忙你製造圖形的話
那這個圖形首先就是有很多多項式
有很多函數 有很多可能的方程式
即使在最古老的時候
你只有多項式
你還是會產生很多新的幾何的圖形可以處理
因此我們產生了很多新的幾何形體
第二個是採用了新的分析方法
這個分析方法是用代數的計算
去取代邏輯的推理
但我並不是說代數演算不是邏輯推理
我只是說它比較不像我們在國中的時候
你在做幾何命題的推理的時候的那個方式
因為你注意到
你在國中做的邏輯推理的方法
跟你在用解析幾何去處理這個問題的時候
其實不太一樣
那我們指的是這件事情
因此從17世紀開始
開始開啟一個新的方向
去處理幾何的問題
多了很多幾何的東西可以處理
因此也多了很多新的問題
因此以解析幾何取代所謂的綜合幾何
綜合幾何其實指的就是
比較傳統的歐氏幾何的那種
幾何的處理方式
用直接的推理再推理的
那在這邊的解析一開頭
因為現在大家從後來看
analytic這個字
是有這個微積分或者函數的意思
利用這個方式在講
但是一開頭其實單純只是代數而已
那時候只是代數
所以只是簡單的講
就是利用代數來處理幾何問題
剛開頭解析幾何呢
其實沒有負數
所以其實只有第一象限
軸也未必垂直
而且只處理平面
算式也只有多項式
我這只要帶給一個歷史的感覺
給大家知道
一開頭
我們關於歐氏幾何
其實這個解析幾何呢
其實是一個非常殘缺的
一個跟我們現在熟悉的東西
不太一樣的的圖像
不過這個情況到了
到了大概18世紀中期的時候
大概就已經是現代的樣子了
那我們現在要談這個綠色的這條線
也就是高斯新的幾何觀的背景
有幾個事情我需要先講一下
那第一個就是我剛剛講了
新幾何的背景就是解析幾何
那請你注意
他研究的是歐氏平面
或者歐氏空間中間的
曲線或者曲面
它新的東西是這些曲線或曲面可能是新的函數
但是它在概念上完全沒有任何非歐的意思
它只是平面或正常的平面
正常的空間中間的曲線或曲面
只是這樣子而已
那因為它的研究呢
推動這個研究通常都是科學的應用
所以經常會出現
一開頭就在研究很困難的課題
然後理論呢其實在後面收拾
這跟我們普通念書是完全反過來了
就我們通常念書的時候
念的時候是先從簡單的理論先念起來
然後慢慢的做困難的問題
不過事實上科學的發展
經常都是反過來了
就是也許那些細節他不是很知道
但是他有困難的問題先做
這通常是在應用的時候
這是一個常態
那第二點是新的幾何最重要的工具是微積分跟微分方程
那這個東西大概在17世紀的中葉之後
因為17世紀中葉之後就是牛頓跟萊布尼茲發明微積分
然後很快很快的就開始知道可以用微分方程來處理這些問題
所以從17世紀大致上就是整個新幾何背景的世紀
也就是從解析幾何到微積分的發明那利用這個
這個這些工具去處理幾何問題
把它稱為微分幾何
那18世紀中間呢
探討了很多困難的課題
這我們後面也許還會再談一下
那另外呢
在微分發展微分幾何過程裡面
出現了曲率這個概念
曲率概念在微分幾何的後來的扮演
非常關鍵的角色
理論上扮演了很關鍵的角色
就不是單純講
就是一個彎曲的度量
這樣子而已
事實上它不但促成了高斯跟黎曼的
新的幾何概念的發展
最後甚至在物理學
包括管理相對論跟量子場論中
也找到很根本的應用
也就是什麼叫做曲率
以及曲率的應用
那我下面會試著講
把這個曲率的故事稍微講一下
但是我先確定
就是我不一定按照歷史的順序
雖然這是數學史沙龍
但是有時候講故事
必須要不按照歷史的方式講
那所以我先
在比較簡單的地方稍微講講的仔細一點
那讓大家稍微有個感覺
所以我現在竟然把曲率當做主角
ok
你當然知道這曲率這個概念
完全不是一個歐氏幾何的概念
那主要是因為他所探討的東西呢
有很多彎彎曲曲的線
那這個不是普通的歐氏幾何的東西
所以這是新的東西
但是它是在歐氏空間裡面
因為這些線都是在平面上
我等一下還會談在空間裡面的曲線
好那我們先談一下
好吧 曲率我先講一個最天真的講法
第一個直線
直線就是不彎的線
那不彎的線我就把曲率定成0
這沒有問題吧
然後第二個呢你看一些圓
圓因為是完全對稱的東西
所以呢你可以感受到就是說它所有的點
同一個圓它所有的點
曲率應該是一樣的
然後比較大的圓
曲率應該比較小
因為比較不彎
所以如果你用圓的半徑
當做參數的話
曲率你可以取一個遞減的函數
譬如說我把這個曲率
κ把它取成R分之一
感覺就很好了
因此半徑很小的
它的曲率比較大
半徑很大的比較小
而且當你把直線想成是
半徑是無窮大的圓的時候
那半徑是無窮大分之一
剛好是0
所以距離剛好是0
所以整個看起來非常的好
可是這個只有直線跟圓
這兩個圖形都是歐氏圖形
那我們怎麼處理一般的曲線
有一個想法是這樣
我對每個點
我去找出一個密切的圓
密切的圓就是
如果你用這個圓去逼近這條曲線
把它逼近到最好的情況的時候
的那個圓
通常的做法是說
因為三點可以決定一個圓
所以我就找我有興趣的那一點
旁邊取三個點
我就畫了一個圓
然後我讓這三個點
慢慢的逼近到那個點的時候
它會決定一個圓
那個圓就叫做密切圓
然後這個密切圓
因為它可以取代那個小小的曲線
就是把那段小小的曲線把它想成是一個圓
因此呢 曲率就可以想成是剛剛講的
那個曲率的半徑的倒數這樣子
這個想法看起來不錯
你可以看到這個橢圓上面不同的點
它有不同的密切圓
然後大的圓曲率比較小的圓曲率比較大
這個想法當然只有一個問題
就是密切圓要怎麼求
如果你碰到這個曲線
你都要求密切圓
當然比較麻煩
另外一個當然是關於
剛剛我講這個曲率的定義
我這個曲率定義有一點太
太武斷了一點
雖然感覺不錯
不過有點太武斷了一點
所以一般來講
我們求曲率的時候
其實有別的想法來協助我們
想像我們在平面上有一個遊樂場
有雲霄飛車
但是這次不雲霄只有飛車
所以我想成這個平面上有一個曲線
我用這個曲線蓋了一條雲霄飛車的路線
沒有雲霄就飛車的路線
在這個路線上你可以感受一下
什麼叫做曲率比較大跟曲率比較小
你在坐這個車子的時候
你感受到一件事情
離心力很大的地方應該曲率比較大
因為它轉得非常非常的快另外一個想法是
你如果看著前方
你突然之間發現你的視角轉折非常大
從這個方向突然轉到另外一個方向
如果這個變化率很大的話
那個曲率應該比較大
那這是一個想法
就是我們可以去談
利用物理來協助我們做曲率的解釋
但是這裡面有一個干擾
這個干擾是說
你這個速度會干擾
這個純幾何的定義
什麼意思呢
假設我在不同的圓
我用不同的速度
譬如說曲率很大的圓
我開車的時候我就慢慢開
可是我很大的圓
我開車的時候
也開得快一點
這時候
你這個比較就沒有意思
因為這樣子的話
你可能感受到
離心率是一樣的
因此你要一開頭
先把這個干擾的這東西
把它去除掉
因此我們要規定
我在所有的曲線上
都用固定的速度前進
因此我可以來度量
這個曲線彎曲的程度
那一個定法呢這個我等一下這個這個技術上的定義呢
我等一下不會真的用到
但是這個是一般我們常用的
而且這想法其實還蠻妙的
就是說我就假設
這條曲線我給他一個參數
這個參數我用的就是曲線的長度
因此呢
意思就是說
因為我們通常把參數想成是時間嘛
但是呢這個參數我又想成跟長度一樣
這意思是什麼
意思就是說我在1秒鐘走的長度剛好也是1
就是我在1秒走的剛好是1
我在10秒走的剛好是10
所以以至於我在任何時候我的速度永遠都是1
所以就表示說我在度量所有曲線的時候
我都用速度1的車子在上面開
如果你覺得離心力很大就是很彎
如果你離心力很小就是不太彎
就是這樣子
那我們把這個數學把它寫起來
我們稍微把這個架構寫一下
那各位不用太擔心
這我沒有真的要算任何東西
那第一個是有個參數式叫 X(s)
這個地方
然後我用 t 呢表示它的切向量
這 t 就是 X 的微分
那因為它的速度是 1
所以它的速度呢長度呢一定是 1
因為速度向量是 1
然後你觀察一件事情
它的 t 如果再微分
一定會跟 t 是垂直的t’ 跟t是垂直的
t’跟t是垂直的
我要用到一點點微積分
這個想法大概還蠻簡單
因為你可以這樣想
因為這個切向量
這個向量本身已經是速度的向量
它的長度是1
所以我可以把t想成是圓的參數式
單位圓的參數式
因為t(s)所描述的永遠
它在圓上在動
但它永遠描述的就是一個單位圓的參數式
那既然你在圓上面
所以他的切向量當然就會跟你的半徑是垂直的
那因此他就會垂直
因此我就可以寫下這個n(s)
也就是說t’他會落在n的方向上
n是法向量
好啦那我們就可以開始寫這個定義
所以第一個定義就是t’會等於κ(s)n(s)
那因為我剛剛已經說t’會垂直於t
但是n就是垂直於t的方向
而且它是單位向量
因此我把這個量前面這個κ叫做曲率
那這就是我們離心力
因為離心力就是
你擺的位置微分以後是切向
就是速度
然後速度再微分就是加速度
那就是力
那你想成這個κ就表示曲率
這樣子
然後下面這是一個驗證
我沒有真的要算
我只是說這是一個驗證
我們剛剛講那個圓
那好吧
反正是依照這個計算
你會算出來
這個曲率其實是r分之1
剛剛好跟我們前面瞎猜的那個一樣
所以表示我前面那個瞎猜
雖然是瞎猜
其實終究還是跟這個地方
其實是相同的
好然後第二個呢
第二個是說把曲率想成是視角的變化
那意思就是把你在雲霄飛車上
你每次所對到的那個方向
把它標示出來
所以你剛開頭速度
是速度就是你的方向
你把它的角度用一個某一個軸當作基準
把它寫出一個θ
把它寫出來
然後你也可以證明說
t'(s)剛剛好計算得到這個東西
因此可以說角度的變化率剛好是曲率
這個只是讓大家稍微感覺一下
就是說我們在考慮曲率的時候
我們是用這個方式在想的
當然後面我會直接套用這些想法
我不會進入那個很詳細的計算
那曲率有個重要的幾何意義
就是曲率決定了
曲線的大小形狀
也就是它的全等的類型
曲率可以決定
但是各位要小心
這個曲率決定的
一定是要用長度參數
那好吧
因為我的時間不夠
所以我只是把它意義講一下
各位大致上可以想成是這樣
就是說如果你知道曲線怎麼彎
所以你現在開車
假設你用 s 就是一個固定的
長度參數去開車
而且每次
每一個點他怎麼彎都告訴你
因此呢你就可以利用這個方式
逐漸的把它整條曲線把它做回來
這樣把它造回來
所以這其實就是這個證明的基本想法
那這面有一個
有一個看起來有問題的地方
如果等一下大家有想到
我們再來討論
第二個是空間的曲線
空間的曲線
我當然也可以用剛剛的方法
也就是說我有一個參數式
我定義什麼叫做切向量
我用切向的微分去定義曲率
κ(s)
因為我剛剛已經做了這件事
所以感覺就很自然
但是底下這兩條曲線
這個是標準的圓
這個是標準的螺線
它們其實κ都是常數
而且我可以做到夠好的話
我可以讓這兩個κ是一樣的
這個感覺比較像是說
在空間的曲線其實我好像少了某個東西
如果我要像剛剛的曲率要決定這條曲線的話
顯然是少了某個東西
這個少的東西我們要用另外的方式來看它
不是另外的方式就是我要把它補足
所以我假設我有個t
這個大寫的T弄錯了
一個小寫的t
我有n
這個t是切向量
n是它t的微分以後的方向
然後我利用t跟n
決定了另外一個向量叫做b
如果我們把t跟n
決定的面叫做密切面
這個是有道理的
但是我不細講
因此這個密切面變化的情況
決定了另外一個曲率
這樣子
密切面的法向量
因為密切面的變化可以想成是
它的法向量這個b的變化
那因此呢
我們得到另外一個類似曲率的東西叫做τ
那τ通常稱為扭率
或者叫做次曲率
是t(s)跟n(s)的
展成的密切面的扭轉率
那你可以想成螺線
我們看下一個
這兩個線在這個時候就就會刻畫的比較清楚
在左邊這個平面上的圓
κ是非0的常數
因為它就是普通的我們微分的κ
但是它的扭率是0
因為它完全沒有扭
簡單的講是這樣
所以事實上τ等於0
是空間曲線落在一個平面上的特徵
就是你如果有一條空間曲線
但它事實上如果落在一個平面上
表示說它完全沒有做任何的扭動
所以它的曲率其實就等於
τ就等於
0這樣子
但是右圖呢就是一個很典型的螺線
這個時候呢
κ跟τ呢是非0的常數
一方面有曲率
一方面呢它的那個面持續的扭轉
那持續的扭轉呢會得到這個曲率
好那這個只是也是讓大家知道一下
在比較簡單的情況
讓大家知道這個曲率是怎麼回事
然後κ跟τ
可以決定曲線的大小形狀
好啦 其實我們的重點是曲面
因為高斯是在做曲面研究的時候
發現了一些重要的事情
所以我們對曲面稍微再講一下
曲面作為空間中的形體
大概從17世紀解析幾何就已經開始
就開始處理
到了18世紀的時候迅速的發展
因為曲面當然比曲線來的複雜
促成曲面論發展的實際的應用
包括我們通常講的地圖的製作
各種各式各樣的投影法
另外一個是測地線
在測地的問題
就是在比如說球面上
我怎麼去測量最短的線
中間的重要的數學家
包括Ola, Monge,跟高斯
當然還有別人
那為了聚焦
我並不是要今天要來介紹曲面的幾何
所以我沒有特別去討論各式各樣的曲面的問題
我把重點擺在什麼叫做曲面的曲率
這是為什麼我前面要把曲率稍微講多一點
而且我要反轉這個例子
請各位用比較後面的方式來考慮這個問題
請你用高斯所謂曲面及世界的阿米巴觀點
來理解曲面的問題
什麼叫阿米巴觀點
阿米巴扁扁的對不對
就是說我現在給你一個曲面
你要想像有個二維的生物在這個曲面上
然後呢 把這個曲面想成是他的世界
然後請問在這個世界上
就在這個曲面的世界上
你能夠看出什麼東西
譬如說長度 面積 像這類的東西
我用阿米巴觀點來講
其實並不是一個太離譜的事情
因為我們人類住在地球上
跟阿米巴也沒差多少
你如果從
從一個很遠的地方反觀地球的話
地球看起來就挺
就很光滑的平面
人在上面看起來其實就是扁的
所以雖然我講這個看起來有點荒謬
但是並不完全是這樣子
並不完全是這樣
事實上我們人類裡面有很多生活體驗
跟阿米巴沒有差太多
這個是高斯在反省他的研究後
發展出來的一個想法
這個想法是新幾何的起點
就是阿米巴看他的曲面
其實就好像我現在站在這邊
看著我們的宇宙
這個三維空間其實同一件事情
整個故事的重點其實就是在這裡
我慢慢看
因此這個曲面你就要想成是我們平面的推廣
曲面上面的曲線想成是平面曲線的推廣
就好像我們剛開頭
我們剛講是平面上面有曲線
然後我研究它的曲率
但是現在呢我現在有個曲面
那這個曲面上面也有曲線
那你從阿米巴來講
他就感覺你好像也是在一個面上面
有一條曲線
類似這樣子
好那底下呢用
不牽涉太多細節的方式
我要來介紹曲面的曲率
那基本的架構是這樣
首先這個曲面呢有一個法向量
每個點都有個法向量
這法向量意思就是切平面的法向量
這樣子 好
這是第一件事情
然後請你注意到阿米巴是感受不到n的
因為它是扁的
所以雖然這個n我們從外面
我們是對阿米巴來講
我們跟我們是神一般的存在
所以我們從外面可以看到這個n
但是阿米巴是看不到的
第一件事
然後現在我們考慮有一條曲線
這條藍色的曲線
我把它叫γ
那這個切向量t(s)跟剛剛一樣
所以我有一個t
然後現在考慮呢
它的切平面這個切平面因為是二維的
所以除了這個t以外
我還可以決定另外一個向量跟它垂直
因為從阿米巴的觀點
這個切平面在非常非常小的狀態的時候
這個切平面差不多就是它看到的那個世界
所以簡單來講這個t跟a扮演的角色
就好像我們剛剛在看平面曲線的時候的
t跟n那個角色從阿米巴的觀點看起來是這個樣子
那n他看不到
我如果跟剛剛一樣做這些微分的話
我會得到一個這個式子
這個式子當然有人你會觀察到
我把這個係數寫滿
你會注意到中間有一些很特別的
譬如說它有反對稱的性質
然後中間這邊都是0
那這個是一定的
一旦你的t、a、n都是單位相對
它就是對的
那這個可以當做
你們可以稍微思考一下的問題
那這不是我現在的重點
我現在的重點是說從阿米巴的觀點
因為n不在他考慮之內
所以這些變化裡面
事實上他能夠看到其實就只有這部分
就只有t跟a的部分
t跟a的部分裡面的這個微分
出現一個κ_g
這個κ_g就相當於
我們在做平面曲線的那個κ
因為從他的理解來講
阿米巴的感覺來講
這個就是屬於他的平面曲線
雖然他是曲面
他也不知道他是曲面
老實講
那這是屬於他的平面曲線
微分所得到的那個曲率
所以這個就是阿米巴
如果在他的曲面上蓋一個雲霄飛車
也沒有雲霄因為他是扁的
所以他只有飛車
你沿著這個曲線γ(s)移動的時候
他感受到的離心力
就是κ_g
這樣子
我講這個就可以得到一個蠻重要的事情
因為如果你發現你的κ_g如果等於0
假設你現在找到一條γ
你現在去微分它以後
κ_g都等於0
從阿米巴的觀點
這條線是不彎的
因為曲率是0
曲率是0
那你要小心喔
這個γ可能從我們來看還是彎的
但是從阿米巴他是感覺不到的
他走在上面呢
因為他的那個κ_g全部是0
所以他覺得他是直的
那因此呢
這個γ就是曲面上面所謂的直線
這個曲面的直線呢
我們稱為測地線
這稱為測地線
那測地線有很多定義的方式
譬如說
他是在曲面上面兩點之間
你去計算他的距離裡面最短的線
兩點之間最短的線
那這個叫測地線
那有趣的是這兩個定義是一樣的
但我不會去說明這件事情
就是我現在講的跟那件事情是一樣的
所以在測地線上面
我會得到t’s 事實上是κ_n乘以n
因為κ_g等於0 依照我前面的
這邊這個式子
因為這個等於0 所以我只剩下它後面的這個項
換句話說呢真正的離心力
真正的離心力完全落在N的方向上那因此阿米巴完全感受不到那個離心力
他完全不知道 他覺得他是直的
我下面給的這個圖形是一個柱面
我現在畫的這些紅色的線
藍色的這一圈跟黃色的這個螺線
都是上面的測地線
有一些還蠻明顯的
譬如說這條紅色的線一定是測地
因為它是直線
你在上面走的時候
你想想看它這個水管
你在上面那邊走路的時候
你沿著那個水管
的軸去走
感覺就跟直線一樣
你如果走這個藍色的線
這個是水管的那個橫截面
你如果真的在上面走
你也會覺得這個東西走起來是直的
這樣子
好啦 那這個螺線的意思就是說
當然我們這個要做點實驗
但是我的意思是說
這個也滿足那個要求
所以這事實上也是測地線
這讓你們對至少這個簡單的圖形的測地線有個感覺
好 那我要開始講曲面的曲率
曲面曲率有點複雜
這個想法大概是這樣
我把這個想法大概整理一下大概是這樣
第一個我要直接去定義曲面的曲率
我其實不曉得怎麼定
所以我的方法是這樣
因為我前面已經定義了什麼叫做曲線的曲率
所以我現在考慮這個平面上的 不是平面
我現在考慮這個曲面上面的一條曲線
過那某個點P
我可以利用那個點P上面的
這條曲線的曲率
想辦法去定義出它的曲面上的曲率
因為畢竟它包含了彎曲在裡頭
這個彎曲
應該能夠反映曲面的彎曲
但是我基於平面曲線的經驗
我知道一件事情
我跟大家講一下
首先平面這個曲面曲率應該是0
這沒有問題吧
就跟當初
我說直線
它曲率應該是0是一樣
因為它完全是平的
所以平面的曲率應該是0
但是平面上
如果依照我剛剛的講法
我現在在平面上取一點
然後用它上面的曲線
去幫我度量曲面的曲率的話
那你會覺得很奇怪
因為這個平面明明就是平的
那為什麼會有曲線的曲率呢
那這表示說
至少有一部分的曲率是沒有用
它是屬於這個曲線本身
在這個曲面上本身阿米巴看到的彎曲
然後跟曲面的彎曲其實無關
這樣子
所以我把那部分把它去掉
那κ_g a就是我剛剛講
屬於曲線在阿米巴看到的彎曲
就好像我在平面上
看到的彎曲的那個程度
那部分是完全沒有用的
所以把它去除掉
去除掉以後剩下的就是只有κ_n n
這個κ_n n我們稱為法曲率
κ_n n剛好是阿米巴看不到的部分
但是是屬於我們計算上
會出現的那個彎曲
這部分的彎曲呢？
我們認為它是跟曲率有關
平面的曲率有關
不過在這個地方
暫時因為它跟你取的γ有關
你注意到我現在給一個點
我有很多很多可能過這個點的曲線
所以我每過一條
我每給一條曲線
好像就給我一個曲率
按照剛的計算
我保留它的κ_n n
可是感覺起來好像跟γ是有關的
跟這個選取有關
一開頭
所以有一個重要的定理
這個定理就是
法曲率比想像簡單
法曲率事實上只跟切方向有關
就是我現在給你一個點
我現在在曲面上給一個點
一旦我決定了這個一個切方向以後
我在這個方向上
我取任何的曲線通過它
我去計算κ_n n其實κ_n n都一樣
這是需要證明 這個需要證明
但是這個是就結果來講
如果是這樣的話整個問題突然之間大大的簡化
因為你本來是各種各樣的γ可能得到不同的曲率
但是一旦你證明了這個定理之後
你就發現曲率值跟方向有關
就是切平面的方向有關
但是切平面的方向很簡單
就是只有一圈
所以曲率比你想像的要簡單
有一個辦法就是我前面這個圖
因為我說跟這個t只跟這個方向有關
所以有個數學家叫Meusnier
他就說我們就用t跟n
我就畫一個截面
當做一個標準截面
這個截面去截這個曲面
得到這兩紅色的線
我可以利用這個紅色的線來計算它的曲率這樣算的好處是因為這個紅色的線來計算它的曲率
這樣算的好處是因為這個紅色的線
它其實整個落在這個平面上
所以它就是一個真正的平面曲線
這樣子
然後你去計算它的曲率得到這個κ_n n
我們剛剛已經說這些κ_n n都是一樣
好了
比較重要的是Eular這個公式
Eular這個公式大概是在18世紀的中期1760年得到的公式
這個公式就是我剛剛講
因為它只跟方向有關
因此
θ是指某個方向的角
我等一下會講它是怎麼量的
這個κ_n n可以寫成
κ_1 cos²θ+κ_2 cos²θ
變成一個還蠻
就高中生來講
算是還可以接受的一個公式
這樣子
這個公式還蠻簡單的
沒有什麼太複雜的地方
其中這個t就是我剛剛講
它是用e_1跟e_2
是兩個標準的
就是有點像座標
標準的一個
就是e_1 e_2是長度等於1
就是單位向量
而且它互相垂直
所以有點像你在直角坐標裡面
取(1,0)跟(0,1)這個樣子
然後因為這樣子的話
任何的單位向量
就可以寫成cosθe_1跟cosθe_2
你利用這個特別取的e_1 e_2
去用這個角度去寫的話
你就可以得到這個
那這個角度當然不能亂取
所以這個e_1跟e_2呢
稱為主方向
就是一個特別的方向
任何曲面的都有這個特別的方向
然後這個κ_i稱為主曲率
然後曲面曲率透過二道公式呢
有兩個主曲率完全決定
所以從剛剛到現在
我們得到的結果是
曲面的曲率
事實上是被兩個曲率給決定了
一個叫κ_1
一個叫κ_2
然後他決定的這個區曲面的曲率的方式
是利用這個公式來決定
那我們把κ_1 κ_2
用另外一個方式整理一下
這是數學上常處理的方式
因為他把它做某種平均
首先把它相加除以2
我叫做均曲率
然後把它相乘
我叫做高斯曲率
可以想見高斯曲率
一定等一下要扮演比較重要的角色
那κ_1 κ_2跟H跟K
兩個是互相決定的
所以你現在也可以說
曲面的曲率是由均曲率跟高斯曲率完全決定
所以那因為這兩個是對稱的
所以我們可以想見它可能比較重要
好啦那下面是三個例子
第一個例子是高斯曲率等於0
然後它均曲率也等於0
第二個曲率是高斯曲率等於1
均曲率也等於1
這是球面
單位球面
所以它的半徑是1
所以它的主曲率是1
兩個都是1 所以相乘是1
這個是柱面
半徑是1
然後它有兩個主要的方向
你光看這個對稱性你就可以想像
它的主要兩個主方向
一個是截面的這一圈
一個是直線的這一圈 這條線
因此 曲率有一個是0 一個是1
因此它相乘還是0
但是它的均曲率是1/2
譬如說這樣
這是三個簡單最基本的圖形
這三個圖形剛好都是歐氏圖形
接下來我不是說
我不準備進入細節嗎
是沒有要進入細節沒有錯
但是這個事情裡面
有一件事情很重要
我必須要在這邊講
所以我順便把這個過程稍微寫一下
但是我不去做任何的證明
在這個過程裡面
我要提出兩個基本的式子那所以首先我把曲面的參數是寫成X(μ,ν)
這個可能各位比較不熟
曲線參數式大家比較熟
他的意思就是說我用這個μ ν平面
我利用一個映射把它映過來
然後得到這個曲面
所以把這一片呢
把它放到這個黃色的這部分來
然後在這個映射的時候呢
這個格子線就變成我現在畫的這些格子線
那其中這X_μ跟X_ν呢就是座標的切向量
就是你送上來的時候
這邊有一條切向量
所以這個切向量叫X_μ
這個切向量叫X_ν
一旦你針對一個曲面
有這樣的一個座標
你永遠都可以算這些東西
因此你永遠可以算下面的這個式子
這個我們稱為第一基本式
第一基本式是主角
是等一下用的主角
所以大家記得幾個主角
一個是高斯曲率
一個是第一基本式
為什麼第一基本式很重要呢
你如果學你在高中學過內積
你知道一件事情
你只要知道內積
內積的話你就可以決定長度
也可以決定角度
長度跟角度是幾何的本質
這樣講來講
尤其是長度
好 簡單的講
那所以 第一基本式可以決定曲線的長度
很不幸的我寫了一個積分式
大家就先相信他
那這個積分式你可以看到裡面有
E跟F跟G
這就是第一基本式
所以換句話說
給定第一基本式可以決定曲線的長度
他可以度量任何這個
曲面上面的曲線的長度
所以 換句話說呢
這個第一基本式可以作為量度
長度的量尺
那因此呢
就可以決定了阿米巴世界所有的幾何量
長度啦角度啦面積全部都可以算
那這個我們剛剛講
如果你在非歐幾何
你要談
你就必須要能夠談這些東西
而且如果兩個曲面
它局部相對應的第一基本式相同
從阿米巴的觀點
他完全無法分辨這兩個世界
他會覺得他住的是同一個世界
比如說如果你能夠找到一個對應
在兩個曲面裡面
你把第一基本式好好的對應過去
因為他所量的
他所看到的長度角度跟面積都一樣
你想想看
在我們的世界
如果你現在說你有另外一個世界
結果我們這邊對應所計算的所有長度
都完全一樣的話
那就表示說我根本看不出來
我跟你有什麼差別
其實意思是這樣
所以從阿米巴的觀點
第一基本式就決定了
他的世界長的樣子
簡單的講是這樣子
因此第一基本式所決定的幾何性質
稱為曲面的intrinsic的性質
就是內稟的性質
是阿米巴能夠察覺的幾何性質
而跟外在無關
這個曲面怎麼彎阿米巴看不到
阿米巴感受到的東西
就是它的曲線曲面長度這樣子
面積
第二個是第二基本式
那這個順便介紹一下
第二基本式是用N跟X所決定的算式
是X的二階導數跟N做內積所得到的EFG
它的真正的幾何何意義我現在先不談
我們把結果看一下
法曲率的計算公式
我們剛不是說法曲率跟方向無關嗎
它的計算公式就是這樣
Xn 的αXu 這樣βXv
就是剛剛這個公式
它叫基本式呢
就是因為上面是2
第二基本式
下面這個是第一基本式
然後它決定了這個法曲率的形式
它只跟方向有關
你有沒有看出來
因為它是其次式
你把αβ把它乘以λ倍
上面λ平方下面λ平方消掉
所以它事實上是一樣的
這樣子
第二個如果你另一個矩陣S
是第一基本式所乘的矩陣
跟第二基本式所乘的矩陣去計算這個
那這有時候叫做Shape Matrix
這個東西是一個方正
這個方正的固有向量跟固有值
就是我的主方向跟主曲率
你如果不曉得什麼叫固有向量跟固有值的話
就是下面這個定義
就是我可以找到一個方正
然後我找到一個向量
它作用在上面
事實上是得到它的一個倍數 這樣子
我寫這兩個目的就是回應剛剛講
什麼叫做它的主方向
什麼叫做它的主曲率
其實它的計算就是透過這來
然後我明顯的告訴你
所有的計算你只需要知道
第一基本式跟第二基本式就可以了
那尤其第一基本式有重要的功能
那尤其重要當然就是高斯曲率
我有個公式
這公式還蠻簡單的
就是EG-F平方
小EG-F平方除以大EG-F平方
所以你就得到高斯曲率
像這個式子
好到目前為止呢
這只是關於曲面曲率
我怎麼計算的一個基本的介紹
那我剛剛提到重要的是高斯曲率跟第一基本式
為什麼呢
因為下面這個定理
這定理我把它叫高斯無上定理
這個德文來講就是反正就是最優美
最最好的定理意思是這樣
令人意外的是
阿米巴可以判斷自己曲面的一部分的曲率
什麼意思呢
就是高斯曲率Κ呢
事實上是由第一基本式所決定的
我們再回看前面
我剛才說高斯曲率是寫成這個樣子
但是下一頁我就說它其實是被第一基本式所決定
也就是說高斯曲率是內稟的幾何量
換句話說阿米巴住在這個曲面上面
他其實應該要知道他的曲面是不是彎的
因為他的彎或不彎
這個曲面的高斯曲率是由第一基本式所決定的
所以它其實應該可以知道它是怎麼彎的
這樣子
那下面這個是嚇你的
就是你如果要決定這個第一基本式來決定κ
寫起來是一個這麼複雜的式子
而且呢這個式子是用下面這個複雜式子算出來
所以這個是複雜的平方這樣子
所以看起來非常非常複雜
其實通常你看到這個式子
你心裡面要想的應該是
這怎麼有可能可以正出來
好
那這是另外一件事情
如果你有興趣就來上大學的幾何課
高斯曲率是內稟的幾何量
它的意思就是說
除了長度角度面積之外
其實直線 側立線跟高斯曲率
本身也是內稟的
對我們最新奇的來講
就是曲率其實也是幾何量
那我們在歐氏空間
在歐氏平面上永遠都感覺不到
是因為它的曲域是0
所以我們不太介意這樣子
可是一旦我的空間其實真的是彎的
雖然我現在還沒有講到那邊
但譬如說你想像
我們是阿米巴活在我們的三維的空間
我們這個空間可能是彎的
雖然我一直講說它其實是一個歐氏空間
但你怎麼知道它是對的呢
這就是後面非歐幾何的重點
所以它不像下面的這些
均曲率組 曲率組方向
法曲率這些事情
其實是阿米巴沒有辦法感受到的
因為它的計算牽涉到其他的
就是外在的東西
但是它能夠真正決定的是像剛剛
我上面畫的這些東西
寫的這些東西
然後如果兩個曲面所對應的高斯曲率不同
它就確定一定不是一樣的阿米巴世界
因為阿米巴世界的曲率是內稟的
所以如果你現在說
我的曲率像這個球上面跟這個平面
這兩個高斯曲率一個是0一個是1
這表示說這兩個不可能是同樣的世界
這樣子
我們現在當然是眼睛遠遠看著
我們作為一個神的角色
我現在看到這個東西跟這個
當然看起來是不一樣的
但是一旦你是阿米巴
住在這裡跟住在這裡
你怎麼知道你到底是活在哪裡
所以呢 意思就是說
這個高斯曲率這邊的1跟這個0
我應該想辦法
可以用內在的方式可以得到它
至於這個呢 這個是柱面
它的高斯曲率是0
事實上呢這個柱面
我們知道小學你做勞作
你一個平面拿起來一彎
你就可以彎成一個柱面
所以呢 這個表示說
在這個過程裡面
它的所有長度都沒有變化
就它的上面的線
其實都是一樣的
它的那個坐標軸
也沒有特別受到扭曲
所以就這個平面跟這個柱面
至少局部上來講
其實是完全一樣的
那高斯曲率可以決定這件事情
因為時間來不及
所以雖然有一個重要的結果
但是我就先不要理它
我們來理下面比較重要的這個
關於我們如何內在的去決定高斯曲率
高斯有一個很具體
很親民
而且事實上是很重要的答案
這個答案是說
我們不是從國中開始就在講三角形的內角合嗎
高斯證明三角形的內角合
等於π加上高斯曲率
在這個曲率裡面的積分
其中所謂的三角形是以測地線為邊的三角形
因為測地線就是阿米巴的直線
所以對阿米巴國中來講
他畫的三角形就是測地線三角形
然後他所學的比我們難
我們學的是三角和就等於π
那他們學的
他們國中就要學積分
就是三內角和就是π加上高斯曲率
做積分
那尤其你如果讓這個三角形
你把三角形取成越來越小
你就會得到下面這個公式
所以一個點的高斯曲率
事實上你可以做下面的計算
就是把三角和把它加起來
減掉180度
減掉π之後
你再除以它的面積
然後取極限
你就會得到它的曲率
這樣子
那這個答案呢
就是一個從國中
基本上是國中幾何
感覺起來可以做的東西
唯一的差別就是你需要極限
這樣子而已
因為三角和
這是你知道的
減掉180度除以面積
這理論上都是基本幾何量
這樣子
ok 所以你這樣就可以得到他的曲率
好 那這個結果呢
挑動了整個非歐幾何的神經
為什麼
因為如果你在半徑為1的球面上去計算
你就會得到三角和是π加上面積
就像這個
那如果是在高斯曲率為-1的曲面上
三角和的內角公式就變成
三角和等於π減掉他的面積
就相當於這個
那這個正是非歐幾何的世界
所謂這個世界的意思
這其實就是高斯、Bolyai跟Lobachevsky
他證明出來的結果
基本上就是這樣子
這表示說
這個跟非歐幾何就完全搭上線了
我想我今天這個演講
至少要把這個公案把它講完
黎曼和如果沒講完就算了
關於高斯、Lobachevsky跟Bolyia的公案
這公案指的是什麼
就是剛剛講的類似陰謀論的東西
因為有很多人喜歡講高斯壓抑這個年輕人
看到年輕人做出很好的工作
他說我都已經做過了
然後故意又說你們是還蠻聰明的
但是因為這些結果我都已經知道了
所以我實在不能稱讚你
類似這樣
好 我們來看一下
剛剛我們講那兩個最重要的定理
就是高斯無上定理
跟三角形內角和這個定理
這個定理是出在1827年
高斯寫的《曲面論》
他當時50歲
他當時已經50歲了
在經過兩年之後
當時37歲的
Lobachevsky發表了非歐幾何的論文
再過三年
也就是1827再加5
就是1832年
30歲的Bolyai
完成了非歐幾何的論文
這樣子
高斯雖然從來沒有發表但他在檢閱這個Bolyai的工作
1832年
因為Bolyai的老爸是高斯的好朋友
他們有一個很有名的絕別的場面
就是在研究所畢業之後
他們兩個就是終身不再相見
這樣子 是很好的朋友
但他們還是會通信
那這個是他的老爸爸
他兒子的結果
把他寄給高斯看
所以他在看這個Bolyia的結果
是1832年
跟Lobachevsky的結果
他在很晚以後才看到這個Lobachevsky的結果
那這個也不奇怪
因為Lobachevsky的結果是發表在俄羅斯的一個很特別的
阿不是比較偏僻的一個期刊上面
所以高斯很晚才看到
那他雖然都不吝的稱讚他們的想法
很有天分
這是真的
因為他在信上寫的
但是同時也表示對這些結果早就了然於胸
無法再給予他更多的讚語
所以這是事實 這個不是八卦
因為他寫在信上面
那我們來稍微衡量一下這些講法到底公不公允
高斯大概在50歲以前的通信
因為他在50歲證明這個
而且我們剛剛已經講
Bolyai跟Lobachevsky的結果都在50歲之後才發表
那他在50歲之前的通信顯示
他14歲就已經開始思考非歐幾何
我們是14歲才開始讀歐氏幾何
他14歲開始思考非歐幾何
到了他22歲的時候
他已經懷疑歐氏幾何的正確性
因為他在證明非歐幾何的定理的時候
越證越多 越證越多
看不出有任何會有矛盾的樣子
如果是這樣的話
那我們憑什麼說歐氏幾何一定是對的
所以他開始懷疑他的正確性
在他40歲給友人的信件
這是一些很有名的話
第一個是說
我們幾何信念的必然性無法證明
這所謂我們幾何指的是歐氏幾何
就關於歐氏幾何的這個belief
其實這個必然性
我們沒有辦法證明
是沒有辦法證明
因為從他的經驗裡面是沒有辦法的
第二個是幾何不應該跟先驗的算術並置
因為他認為算術這個東西是真理
但是幾何他感覺好像應該跟力學擺在一起
就是跟物理學擺在一起
也就是說我們這個空間的幾何
到底是怎麼回事
好像應該要以經驗來判斷
而不應該是一開頭
擺一個公設把它擺下去
然後說我們的空間就是這樣
然後他在後來的信
他還用了非歐幾何這個詞
這個詞他在信裡面用
他不敢公開講
因為事實上當時很多人反對
非歐幾何基本上想的是一個邪教
大概是這樣
那也明白表示
歐氏幾何是非歐幾何的退化
這個退化不是一個不好的詞
這個退化只是指的是說
簡單的講
我把結果講一下
非歐幾何
非歐幾何
他們所證實的非歐幾何
基本上就是我們剛剛說的
高斯曲率是負的幾何
但是它是負的
它是常數負的
它是有很多可能性
可能是負1
可能是負2
可能是負3
它只是說這個曲率
一直到最後變成0的時候
就變成了歐氏幾何
所以它的退化指的是這個意思
意思就是說
歐氏幾何是跟非歐幾何
排在一起的邊邊的一個
高斯雖然沒有發表
他以前的結果
但他在早期的信件裡面
已經很描述過很多次
他證明了非歐幾何的關鍵定理
因為非歐幾何裡面有一些定理
是你一看到你就知道他已經證明出來重要的東西了
那他在早期的信件已經描述過這些東西
私人的信件裡面
所以到了1831年
也就是1832年Bolyai那個論文讓他看之前
他表示說自己曾經多次重證這些性質
因為他沒有寫下來
只是每次想到他就重新算一下又把它證出來這樣子
但是因為他現在這些結果
怕跟他一起腐朽
因為他那時候已經年紀比較大了
所以他開始想要把它寫下來
沒想到隔年他就看到Bolyai的論文
所以他就可能因為這樣他就打住
就沒有再繼續寫下來
那重點是這樣
總之呢他1827年這個經典論文
就是我們剛剛證明的這個定理
這個定理已經隱隱約約看到一個把歐氏幾何統包在裡頭
甚至是把非歐幾何都統包在
裡面的一個幾何的架構
這個我們可以知道
就是高斯在這個議題上
它的廣度跟深度早就已經超過了
Lobachevsky和Bolyai
那個情況有點像你在
學大學的幾何學
學的一種更廣的幾何的時候
回去看
譬如說高中生或國中生
還在證明歐氏幾何的東西
簡單的證明歐斯幾何的定理的時候的那種感覺
因為那種感覺就是Lobachevsky跟Bolyai
是很努力的來證明非歐幾何裡面所得到的東西
但是高斯早就已經在一個更廣的
一個開闊的架構裡面
因此其實Lobachevsky跟Bolyai
我們說他們之間的爭論
這根本就是不用說他的爭論
從數學家的感覺是這個樣子
就是高斯即使沒有發表任何東西
其實也無所謂了
就簡單的講
那黎曼才是真正繼承高斯思想的人
我的演講呢
後面還有很多頁
但我早就已經預期
我沒有辦法把它講完
所以我很快的
把後面的故事很快的流覽一下
那下面就是黎曼登場
黎曼最重要的成就
就是把高斯的想法
把它推廣到更廣的情況
那他在
比較重要的故事是在
我把這個故事講一下
在這個第二段
黎曼想要取得一個教書的位置
但在德國你要取得一個教書的位置
就是說你可以
他這個教書的位置
可能還是學生要付錢給他的
有點像家教
但是他要教書給考試
所以他為了要取得這個職位
他必須要準備教師資格演講
那他當初提出三個講題
三個講題
他偷偷的把一個幾何的講題擺在第三個
他其實並不希望他們挑第三個講題
第一個跟第二個是
有關電磁學有關複變分析的講題
他把它擺在第三個
沒想到高斯一看到就挑了第三個
因為這個跟他想的重要的問題相關
所以他挑了這個問題以後
黎曼只好非常努力的準備
這個講題叫論幾何基礎的假設
這個內容十分高深
這是比較好的形容方法
比較不好的形容方法就是
艱澀隱晦
據說是這樣
因為他要通過這個考試
下面有很多是屬於哲學系的人
所以他在這個文章裡面
他不能擺太多數學式
然後他也不能夠講太多非歐幾何的事情
所以他整篇文章隱隱晦晦的
藏了很多東西
有點像我們在解釋古代某些人的文章一樣
觀眾基本上只有高斯能夠理解
但是他給了黎曼的演講非常高的評價
當時高斯77歲
他50歲寫出論文
到了給這個演講的時候高斯已經77歲
而且隔年他就過世了
我想高斯應該非常高興
因為他的整個一生
從非歐幾何的結尾到新的幾何觀的創生
他參與其中
然後他後來他的學生黎曼
做了一個這麼重要的演講
他已經知道整個幾何的往後的路
整個開闊已經可以看得到了
我猜高斯應該是非常的高興
後面是我關於黎曼演說的一些基本的介紹
不過因為時間的關係
那我就不談這個
這個尾聲如果有機會我們再談好了
所以我今天演講就講到這邊好了
如果大家對這個PowerPoint有興趣
你可以跟我要
好吧 大概就是這樣
今天要講到這裡
歡迎大家提任何問題
你們可以提任何問題
我們不保證我們一定能夠回答
不過就當作說大家
這個朋友之間的交談吧
那剛才聽到翁老師講阿米巴
我才想起來
其實我更常見的
我們物理 起碼在物理的這個文獻裡頭
我們不談阿米巴 我們談螞蟻
所以我想先問你
你這阿米巴有依據嗎
我的螞蟻可是有依據的喔
就是說我可以告訴你
什麼名著就是用螞蟻
還是是你的
是你的發明
我自己想的
因為只是想說它扁扁的
比較適合拿來用
就是這樣子而已
螞蟻也許不是很扁
不過已經夠二維了
就是螞蟻就是所謂
把它想成是二維的東西
我講螞蟻是說
例如費曼
費曼的物理學演講
第二冊最後一章
就是講廣義相對論
所以他必須要解釋這些內在幾何
稍微要講一下
嚴格講他不能
他不是把他叫螞蟻
他把他叫bug
就是蟲
也不要假蟲就是一隻蟲
所以說不定跟你阿米巴其實是一樣
應該是講說
當然是一樣
因為我們只是需要一個二維的生物而已
就是說需要他從那個觀點去看
因為我們平常講到蟲嘛對不對
那個平面國
平面國裡面那個
那個平面人
對阿
anyway 你們知道就是
不過你把人跟阿米巴比這一點
我覺得我是完全同意的
ok 這點
好
anybody
有人需要問第一個問題
才能夠把這個冰破掉
ok 好 我後頭看
你有舉手嗎
我是今年大一的陳宏恩
大家好
你念什麼科系
化工
我非常喜歡
就是那個 阿米巴那個比喻 對
然後我就想到一個問題
就是在
宇宙中我們作為人
我們也沒辦法觀測到更高維度的
對我們只能觀測到三維
但是
我們剛剛在投影片有講到說
就是曲率是一種內零
所以我們是不是也可以觀測到宇宙的曲率
就是它應該不是歐氏幾何 對吧
我剛剛沒有講那個黎曼的部分
黎曼當然已經把整個這個
高斯二維的曲面這個想法把它推廣到N維
所以當然包括了我們這個宇宙的這個三維
然後關於這個三維裡面的幾何量要怎麼計算
他有一個非常清楚的計算方式
事實上他很重要的貢獻就是能夠定義什麼叫做N維的流形
以及上面的曲率
這個曲率我們稱為黎曼曲率
他怎麼計算有一個類似高斯剛剛的做法
一切的所有這些東西都已經推廣
所以原則上好像是可以做
但是重點是你要把這個流行跟我們的空間做一個比對
關於測地線是什麼意思
那這個也許跟物理有一個關係
譬如說光軸的線
是不是在這個空間裡面就是測地線
所以這其實牽涉到後面
你怎麼把黎曼的想法
把它運用到物理學來
那其實最重要應該就是廣義相對論
所以在剛剛你的第二個問題
我覺得是可以做的
事實上關於現在這個
我們的時空的曲率是多少
我們應該還是不是
應該是說在誤差範圍內可能離0不遠
我猜是這樣子吧
也就是說它也許是無限的
那也許它是一個很大很大的球
所以我們沒有什麼概念這樣子
這個你補充吧 物理
你問的是說我們這一個宇宙
這個四維空間
你還有沒有一種從高維空間看的角度
會讓我們認知到說
我們這個宇宙 這個時空是
比我們平常想像的複雜
那當然有一個例子
例如說你是球上面的螞蟻
那你怎麼知道你是球
而不是這個說二維的R2就平面
那一個例子就是你就一直往前走走走
那我們知道假如說這個是球
那你終究是會回到原點的
對不對 所以你想像說我們
就是我們這個實際的
這個4維時空
你就一直往前走走走
那你要是真正能夠
又後來發現說你可以回到原點
那就表示說我們這個
宇宙的幾何比我們想像的要複雜
那目前當然是沒有這種證據啦
因為這個實驗沒有人做過
我很難想像哪一天是能夠做得到
不過這個是
對不對 這是一個例子
就是以球面的幾何用來示範
想像說我們怎麼可能知道說
我們這個真實的
所謂的4維時空有複雜的拓樸或者是幾何
這是一個例子
剛才張老師是有
我有兩個問題請教
第一個問題就是說我們常常
不管在物理學跟數學常常都講說
比如說用螞蟻
或者是用阿米巴
來當作二維的一個看法
就是說
二維跟三維的理解這個世界不一樣
可是我是覺得不管螞蟻也好
阿米巴也好基本上它是三維的
為什麼把它看成是二維的
這是第一個問題
第二個問題是說
關於剛才講的一些事情
我先說第一個問題 先回答
我再講第二個問題
其實我想不管是螞蟻或者阿米巴
其實那只是個比喻
就是我們希望
就是說你想像一個二維的生物落在一個曲面上面
因為你想要讓這個世界是完完整整的
就是說它是一個二維的世界
然後你住在裡面的生物
那住在生物裡面當然不能變個三維的
所以我們要取一個比較像是一個二維的生物
這情況就像你現在三維時空裡面
我們講到我們的人一樣
所以我們其實只是在比喻
就好像人在我們現在這個空間裡面
就相當於阿米巴在曲面上面
只是為了這個比喻的目的而已
常常講不是人是三維的嗎
對啊
那為什麼說阿米巴是二維的呢
我們現在就是要想像
就是你要做一個類比
這個類比是說人在三維
就相當於阿米巴在二維
那你如果不喜歡阿米巴
你就自己想一個很扁
完全沒有厚度的生物也可以這樣子
那重點是那個生物這樣子
因為我只是要讓整個東西
讓我們可以想像它大概是什麼樣子
只是為了這個目的而已
那第二個問題就是說
您剛剛講那個曲線這個問題
那是不是在數學裡面
常常講這個曲線都是一個非常理想的
實際上我們說光滑曲線
根本在世界上實在的情形根本沒有的
那您剛剛講這些呢
如果說在實際的情形根本不出現
這是完全是想像的
那實際的很多問題
會不會有一些東西
因為我們用這種理論
還有沒有辦法套進那個公式裡面的
比方假如說
說一條光線
經過比方說太陽
或者是一個地球
它就是會有
有一個曲線嘛
那這個曲線絕對不是理想的曲線
應該在每一點上
它的那個
它的曲率都不大一樣的
那要解決這些問題
可是我們現在的話
都是用一種相似的
相似的
好像到某一個相似的情形
我們說可以了
就可以計算了
實際如果說我們真正的
要瞭解實際的情形的話
那個曲率的話
在每一點的曲率都有一點不一樣
那這個事情
我們怎麼去解決 請教一下
其實這個當然是碰觸到就是說
數學跟它如何應用在這個現實上面的問題
那這是一個老問題
就是數學到底要怎麼用在
這個我們沒有一定的答案
那簡單的講
你可以把數學想成是一個模型
然後你把這個模型套用到你這個問題的時候
剛好可以恰當的使用
這是一種解釋的方式
這個在解釋一般誤差比較大
或者說比較亂的東西的時候
你用這個方式
但是在物理裡面
比較妙的是物理跟數學結合非常的細緻
所以有時候你會覺得說
其實物理就如這個數學理論所表現的
它就真的有那個性質
然後就是這個宇宙的真理
但是這種想法當然也透過了好幾次的
我不要講革命
譬如說牛頓一次
到愛因斯坦一次
然後也許到現在還有更新的
譬如說學論的方法
這裡面已經有很多
你可以質疑的地方
我的感覺是這樣
就是說
站在一個比較實用的立場
如果數學理論你可以用你就用
那為什麼有些應用可以成功呢
那一定是表示說
這個光滑的曲線
在你所描述問題裡面
它的光滑可以幫你簡化這個問題
以至於你可以找到一個
好的理論來描述它
但是一旦你的問題不是這個問題
而是牽涉到
譬如說你在這個曲線裡面
很細節很細節的問題的時候
那你或許應該要換一個理論
事實上我剛剛在講
這個黎曼的演講裡面
他其實對於這個問題
他有很多各式各樣的思考
譬如說他也談到說
一旦人類的經驗沒有辦法探觸到
非常大 就是巨觀的東西
或者是非常微觀的東西的時候
那他前面所談到的這種思考的方式
可能就不是那麼的恰當
所以一旦你的問題真的是面臨微觀的東西
你可能需要另外一種幾何
所以有很多人會說
其實黎曼在這裡面已經預示了
你在處理非常微小的事情的時候
你需要另外一個系統來處理它
譬如說類似量子幾何學
類似這樣我只是隨便
因為很多人喜歡這樣說
我要講的就是說
其實黎曼在這個文章裡面
他其實想到的東西還蠻多的
其實是一個還蠻深的論文
這算是我剛剛的一個回答
我想翁老師真的講得很好
我想可能張老師要問的是說
這個就是傳統的一個哲學
數學哲學的一個思辨就是說
我們一個圓只有存在於
想像的完美的理型空間
而我們真的在這宇宙
你實際的物質是做不出完美的圓的
所以圓這個概念
就是只有在你的思考之中
而不是在實際的世界上
可是張老師講到說
例如說光線對不對
通過一個物體它走一個曲線
彎不彎曲是一回事
可是我們是假設它是平滑的曲線
這個當然是一個模型
因為我們物理理論就是用數學模型
來描述世界
所以我們就假設說
這個光線走的這條軌跡
你把這個軌跡以時間
作為時間的函數把它寫下來
那你一旦寫下來
那當然就是假設說它就是一個平滑的
但你也可以寫下不平滑的函數
不過我們平常是說是找這種平滑解
那翁老師的意思是說
但是你如果真正微觀的
用實驗去看說這些物體的軌跡
它到底是不是平滑的
如我們平常所想像的棒球的軌跡一樣
就是一個曲線 一個弧線
當然那又是一個另外的問題了
那其實變成是一個物理的問題了
就起碼在目前不屬於說數學這種
用這種 不是目前的數學描述
在
朋友提問題之前我想我自己問這個洪老師
你剛有提到數學之源 那一本是什麼書
數學起源 那個是什麼
那是一本那個數學史的翻譯
數學史的翻譯
就是Historical Roots of
Elemental Mathematics
因為洪老師一開始講這些
你把它我們以前我都我們常用的常用的
詞彙叫公設
那你把它要做
公設現在基本上在古希臘分成兩種
一種叫公理一種叫設準
設準
不過設準這個字眼已經進入我們一般的就是說
我說我們以前叫第五公設
那你現在把它叫設準
那已經進入了
因為我不是很熟悉這些文獻
我們在討論希臘數學史的時候
都已經用設準
我們會用設準
因為它跟公理確實不一樣
那我注意到
洪老師的演講似乎是
假設說我們在場的聽眾
也不能講說是每個人
很多人對於這個
這個歐氏幾何有一些起碼的認識
知道第五公設 而且恐怕要知道前面四個公設是什麼
後來我再聽著聽著我就想說 恐怕這是一個錯誤的假設
就是說現在據說我們的這個
歐氏幾何已經在我們的這個中學 尤其是出國中啦
這個的分量已經是降得很輕了
那這一點我
其實不是很清楚 二位對 所以我的問題就是說
到底我們現在中學的歐氏幾何的教育
是能夠聽得懂你的這個演講嗎
跟過去受過什麼訓練無關啦 跟你的數學承受度有關
所以只要你喜歡數學 應該可以聽得懂
不是不是 我的意思是說那個
他的背景知識是不是已經
基本上是弱化了 因為基本上就不是那麼強調論證
而是說告訴你一些幾何事實
那比如說五個 五個幾何事實之間有什麼關係
可能大家不是那麼care
所以他基本上把處理這種幾何事實的事情
變成一種解題
變成解題活動的一部分
因為我們原來的幾何論證的
比如說畢氏定理你要怎麼證
它是 它安排在幾何原本的第一冊第47個命題
那如果你用超連結的方式去找的話
它大概前面要前置有20個左右的定理
20個 根據20個左右的定理
才有辦法證明畢氏定理
那你現在的幾何課程不可能這樣教嘛
對不對 不可能給你一個結構嘛
因為基本上要學的東西太多嘛
而且好像全世界大家都不care這個
這個幾何結構的一種認識和理解嘛
那這個我覺得這個恐怕沒有辦法
所以 但是我還是覺得說
所謂的資優生應該自我挑戰一下
要去看那個結構
因為那個結構是真的很美啦
因為數學我想不是因為有用
有些時候是因為他很好
他很有趣
我想這個面向大家還是可以注意一下
我的理解是國中現在應該
至少不是用一個非常系統的方式在學這個東西
那譬如說像歐氏幾何有五個重要的公設
其中四個呢
為什麼要設這些公設呢
是因為這樣子
因為當初這些東西不是
歐幾里德發明出來的
我說裡面的非常非常多的幾何
不是全部都是他發明的
他事實上是整理
他的最重要的工作是整理
當時已經製造的幾何的知識
然後他在整理這個東西的過程裡面
他發現有一種整理方式
他覺得特別喜歡
這個方式就是說
他把所有的東西呢
把它歸於
五個公設
然後這五個公設呢
他希望它是看起來就是對的
就叫我們稱為自鳴
然後因此你從這五個公設
假設他透過這個整理
可以推得所有其他的東西的話
那其他就完全沒有問題
這是他最基本的想法
那這個非歐幾何之所以產生
是因為他為了要證明這裡面
某些性質的時候
他不得不用到
我們稱為平行公設的東西
如果你能夠不用平行公設
用前四個就可以證出所有東西
那就不需要第五個
但是他非得要用到第五個
這個第五個公設看起來就怪怪的
因為他牽涉到無窮
牽涉到無窮到底會不會相交
這個跟我們的空間
直觀我們能夠看到
我們能夠感受到的
其實有點不太能搭得上
因此他做了這個整理以後
數學家才會開始一直試著
想要把第五公設
用別的方式把它證明出來
或者用別的方式去處理它
所以才會產生整條
我剛畫那條橘色的線的路程
因為剛才他們兩位老師在回答的時候
我忽然間想起
就回到阿米巴的問題
當然歐氏幾何是平面幾何
所以我們就說它是阿米巴幾何
我也是好久以前才認知到說
其實不完全是
你們在座有
大概都是國中以上的
學過國中數學以上
你們知道有一個 AAA 定理對不對
起碼我在念書50年前的時候
是念叫 AAA 定理
就是說三角形內角都相等的話
這三角就把它叫做相似 OΚ
那 對不對 就是或者是全等
就這兩個三角形 只要內角一樣的話
就是相同的 就把它identify
就看成是相同的
可是事實上兩個三角形
你如果把它翻過來
它內角當然是一樣
可是你這樣子的兩個三角形
我們從三維空間來看
它是一個鏡像的關係
那這個鏡像的關係是
到底你從這個
就是說你把一個東西把它翻過來
那這兩個三角形是一樣
可是從我們的角度來講的話
其實是不一樣
可是我們要把它看成是一樣
所以表示說這個歐氏幾何呢 做這件事情其實
已經有這個觀點是說
有某種隱藏的三度空間的perspective在裡頭
anyway
homogeneous
他假設這個空間每個地方都一樣
但他是平面幾何啦
可是這個AID是很有趣的
他不只是homogeneous
他主要講到orientation notation的問題
其實我是覺得
歐幾里得當初也沒有那麼的
就是說
因為他從三維可以看到的東西
他把它想成是一樣
他就把它想成這兩個是譬如說相似
他其實並沒有太介意這個事情
對 我同意
因為他從三維翻轉可以看得到
我同意 我只是說這個就很複雜
就是它是不是一個
Purely 純二維或幾維
這個就複雜
不過因為平面 不是
就是說二維生物 二維世界
有一個著名的一本書嘛 Flatland
對 平面國 對不對
裡頭的生物就是三角形是一種生物
方形是一種生物 然後多邊形 對不對
有這個很有名的
同一種生物 可是階級不一樣
階級不一樣 同一種生物階級不一樣
那是不是角都是人那是不是四角形的階級是比三角形高還是低
對稱性越高的越高級
階級越高
所以圓型是階級最高
好 還有誰有問題
介紹一下自己
我是物理系大一的學生
物理系大一的學生
好 所以我想要問就是
比如說我剛剛想到就是
我想一個簡單的例子就是如果他是一個柱
他是一個生活在柱型
圓柱形空間的那個阿米巴
然後他很長
他可以繞一整圈
然後他又知道自己的長度
那他是他就可以透過這樣子得知
他自己居住的那個空間的曲率
然後所以我在想是不是有可能在
就是如果一個東西
就是我們觀察的尺度夠大的時候
我們就可以觀察到一個
就是我們是在小尺度
看不出來的那個
那個彎曲空間的性質
這個當然
這其實就是剛剛
剛剛涌泉講的
就是說你以為是螞蟻
你一出去
到後來你可以繞回來
這就相當於
你拖著那個尾巴
你把它繞一圈好了
那你當然就可以知道說
你這個宇宙至少
它拓撲上
不過這樣講還不行
繞一圈回來
它有可能是它在平的上面
它只是不知道它繞了一圈
我們平常你定義
譬如說你走只有對
是一直往前走
因為你如果說繞一圈
就照你講是有離心率的
所以是沒有錯
是這樣
就表示說我們不夠
我們還跑不遠
所以我們現在的
對於大自然的知識
仍然是侷限的
雖然是侷限
可是我們因為透過望遠鏡
已經知道很多事情
我們例如說知道宇宙137億年
這也是不得了
我們人類才在地球上出現
那麼有限的時間
居然可以去推論到
137億年前是怎麼樣
在空間上面
我們也已經在天文的觀察上面
也知道宇宙的很多的事實
那可是這還是有限的
你如果從數學這種無限的角度來講的話
你不管你知道多久之前以及知道多遠之外
都仍然是有限的
那有沒有就是說有一個更超出我們想像的可能性
那現在當然這個對不對
還有待未來的發現我是想說就是
如果想個最極端的狀況
就是有一種有感知的生物
他可以填滿整個空間的話
那他是不是可以知道比我們更多的
那個空間的心
有感知的生物可以填滿空間
我講一個簡單的情況
譬如說你想一個甜甜圈
假設那個空間長得像甜甜圈
因為我在想你剛剛那個問題
我一直在想你剛剛講那個問題
就說你現在繞一圈把它繞回來
你會走回來
那這是不是表示你這個宇宙的形狀
就真的長得像柱體
如果單純 這不是你本來的問題嗎
對 但是好
因為你如果光只是這一圈繞回來
其實你是不太能夠分辨的
因為你也有可能在一個球面上
你繞一圈你也走回來
所以你要怎麼分辨這個
那這個其實是一個拓樸的問題
就是說你如果在球面上的話
你這一圈你可以把它走小圈一點
慢慢的走回來走回來
你就會縮到它自己
但你如果在柱面上你怎麼走拉來拉去
你其實都是沒有辦法的
那這是一種問
這是一種方法
但是這是屬於這個空間的拓撲的問題
所以像你剛剛講
你如果全部把它全部佈滿了
你事實上還是要發揮你的數學理解
譬如說你這個佈滿
你是能夠探測到譬如說你繞這一圈
它是沒有辦法縮回來的
那你在你的譬如說你的
你假設你像一個輪胎體的話
你繞這一圈也不行
繞這一圈也不行
你甚至繞這樣子
你會得到各種不同的 這個形狀
就是說各種不同的限制
那這個可能可以讓你多一些資訊
讓你知道這個宇宙大概長什麼樣子
對 但是這是一個整體的問題謝謝教授
在座有沒有中學數學老師
Anybody有沒有
你能不能講一下你的教
在中學教歐氏幾何的一些心得
你覺得同學們對歐氏幾何
就當下的21世紀台灣的學生
對歐氏幾何的印象 理解 想像是什麼
大家好 我是和平高中
數學老師 然後
大概回應一下剛剛教授說
其實現在中學數學教育其實
我覺得
好吧 講得現實一點還是有時候
很受考試的
影響 那因為現在
會考再加上
大學的學測其實在
證明這一塊
就是說我們在講幾何的論述
這一塊其實都已經少了非常非常
就不考了嘛
所以說在這一塊就變得是很
很弱化這樣
所以當然我們上課都還是會提
可是同學在聽到這一塊的時候
他會自動轉譯成說
這個不會考
然後就忽略掉了這樣子
大概是這樣
好 瞭解
我還記得我們五十年前學這個這個國中學
就是說考試你就是要知道 怎麼畫補助線
這個幾何證明了 關鍵在於說
你會不會畫出適當的補助線
然後那個答案就這樣 一下就出來了
可是那個補助線你如果沒有
事先稍微 我不曉得 算一算就是說
這個參考書看過或什麼的
其實這個當下要馬上就能夠想得到
我想的確是不太容易的
那所以現在幾乎已經沒有考這種題目了
對不對 沒有所謂畫補助線
這個變成是一個學習重點的事情
沒有啦 因為教授講的這一塊就變成是國中的
那其實我還是對高中比較熟
所以比較沒辦法回答 那有沒有國中老師勒
因為我們其實接觸這個平面幾何是國中嘛
好 今天沒有
好 那我們今天的沙龍就到此結束
(音樂)
那讓我們掌聲再謝謝兩位老師
(音樂)
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