大家好，这里是最佳拍档，我是大飞
1975年
在澳大利亚阿德莱德的一个普通社区
诞生了这样一个男孩
他 3 岁半开始自学算术
7 岁完成微积分课程
8 岁参加 SAT 数学考试
拿到 760 分
这个被称为 “数学神童” 的孩子
就是后来的菲尔兹奖得主陶哲轩（Terence Tao）
当他在 24 岁成为加州大学洛杉矶分校（UCLA）历史上最年轻的正教授时
人们惊叹于他对数学领域的全域掌控能力
从调和分析到数论
从偏微分方程到组合数学
6月15日
知名播客主持人Lex Fridman
对陶哲轩进行了一场长达三个多小时的访谈
在对话中
陶哲轩深入探讨了三个核心命题
包括那些困扰人类百年的数学难题
究竟难在何处？
当 AI 开始辅助定理证明
传统的数学研究范式正在发生怎样的变革？
以及在算法日益精进的时代
人类数学家的独特价值又该如何定义？
今天大飞就来试着给大家梳理一下这场对话的核心内容
看看在这位号称“数学界莫扎特”的天才眼中
人类、数学和AI的未来将会如何发展
这场对话的起点
还要从那个让陶哲轩在博士阶段
辗转反侧的 “针尖转向” 问题说起
1918 年
日本数学家挂谷宗一（Soichi Kakeya）提出了一个看似很简单的几何问题
那就是在平面上
一根长度为 1 的针做 180 度转向时
所扫过的最小面积是多少？
传统的几何学家们设想了一个 “三点转向法”，
针先绕一端旋转 60 度
再绕另一端旋转 60 度
从而形成一个等边三角形
实际面积为π/8
但是这个答案在 1928 年被苏联数学家阿布拉姆・别西科维奇（Abram Besicovitch）所颠覆
他证明了通过构造无限多段的锯齿形路径
转向面积可以趋近于零
而陶哲轩在 1990 年代研究这个问题时
并没有局限于二维平面
而是将目光投向了三维空间
如果针具有厚度 δ
比如好像现实中的一台望远镜设备
那么最小的转向体积该如何计算呢？
他发现当 δ 趋近于零的时候
体积衰减速率大概会与δ的对数相关
这个发现看似局限在几何领域
却意外地与流体力学中的 “奇点形成” 产生了联系
在流体力学中
有一个著名的纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）
这是一个描述流体运动的偏微分方程组
包含了速度场、压力场和黏性力等多个物理量之间的复杂交互
它的核心问题是
对于给定的光滑初始条件
是否会在有限时间内产生 “奇点”，
也就是速度或者压力趋于无穷大的点
从而引发“爆破（blow-up）现象”呢？
陶哲轩指出
这个问题之所以极端困难
源自于它的“超临界”（supercritical）特性
在流体系统中
存在着两种相互竞争的力量
一种是让系统趋于平稳的粘性耗散
另一种是驱动能量输运的非线性效应
在“超临界”的状态下
当尺度越来越小的时候
非线性效应会压倒性地战胜粘性效应
他将这个过程比作是“麦克斯韦妖”的杰作
麦克斯韦妖指的是，理论上
一个微观的“妖精”可以巧妙地操纵能量
将它不断地推向更小的尺度
从而形成一个自相似的能量汇聚链条
最终在有限的时间内形成奇点
因此
这个问题也被列为千禧年七大数学难题之一
悬赏高达 100 万美元
2016 年
陶哲轩在《数学物理通讯》发表的论文中
通过构造了一个 “平均化” 的三维纳维 – 斯托克斯方程
首次严格证明了在特定的初始条件下
能量会在有限时间内集中到非常小的尺度上
引发爆破
他的灵感来源于妻子的电路设计图
那些由电阻、电容构成的分层能量耗散结构
让他联想到流体能量在不同尺度间的传递机制
就像工程师设计电路的时候
需要考虑信号延迟一样
陶哲轩在方程中引入了 “能量传输的时间滞后”，
证明了当黏性耗散无法及时平衡能量的集中时
就会形成类似于 “流体计算机” 的自相似坍缩
在他的设想
驱动计算的单元不再是电子
而是一股股以特定速度流动的水流脉冲
水流的不同形态可以代表二进制的0和1
通过设计出特定的流体交互
完全可以实现“与门”和“或门”等逻辑运算
再将这些逻辑门串联
理论上可以构建出一个完全由水构成的计算机
甚至是创造出一个流体版的“冯·诺依曼机”，
也就是一个能够利用流体资源
进行自我复制的机器人
这个“流体机器人”唯一的目标
就是创造一个比自己更小的、处于“冷启动”状态的复制品
一旦完成
它就会将自身的全部能量转移给这个复制品
然后自身断电并且消散
这个全新的、更小更快的“机器人”将自行启动
并且以指数级的速度重复这个过程
从理论上讲
这个无限迭代的自我复制过程
就可以在真实的纳维-斯托克斯方程中制造出一个“爆破”。
陶哲轩关于“流体计算机”的构想
核心在于复杂的计算能力
可以从简单的底层规则中涌现
这个思想在数字世界中其实有着一个强大且经典的印证
那就是约翰·康威的“生命游戏”（Conway’s Game of Life）
陶哲轩明确表示
他对元胞自动机（cellular automata）的了解
深刻地影响了他对复杂系统行为的思考
并且为理解人工智能系统的内在逻辑提供了关键类比
“生命游戏”是一个由极简规则驱动的二维数字宇宙
它的演化模式有时看起来极为混乱
酷似流体湍流
然而，陶哲轩指出
研究者们在这个极简系统中发现了令人惊叹的、具有高度组织性的结构
比方说
他们发现了“滑翔者”（glider）
一种能稳定向特定方向移动的微小模式
这非常类似于陶哲轩在流体力学中思考的“涡环”（vortex ring）
更加令人惊叹的是
通过对这些基本模式的巧妙组合
人们最终在“生命游戏”里构建出了更高级的计算组件
设计出了能持续发射“滑翔者”的“滑翔者枪”，
能够实现“与门”和“或门”等逻辑运算的复杂结构
乃至一个庞大的、能够实现自我复制的冯·诺依曼机
然而，无论是设想中的“流体计算机”，
还是“生命游戏”中的复杂机器
它们的涌现都有一个至关重要的共同前提
那就是需要非常精心准备的初始条件
他强调
这些复杂结构必须通过“工程”的手段
以一种非常特殊的方式精心设计
才能够构建出来
陶哲轩还讲了自己研究波映射方程的经历
波映射方程（Wave map equation）是描述从一个时空区域到另一个黎曼流形的映射的波动行为的方程
它在广义相对论、几何分析等领域有着重要的应用
陶哲轩在澳大利亚探亲期间
经常会在海滩上
观察海浪撞击礁石时的波形变化
他发现
当水波在遇到障碍物或者进入不同深度的水域时
会发生折射、反射和变形等复杂的现象
在这些物理现象的启发下
陶哲轩提出了一种名为 “规范变换” 的方法
就像给波动安装了一个可调节的坐标系
通过局部旋转向量场的视角
将高度非线性的问题转化为近似线性的形式
最终证明了临界波映射的全局正则性
在这个过程中，他甚至躺在地板上
想象自己变成了一个矢量场
四处滚动，试图弄清楚如何改变坐标
让各个方向的物体都能以合理的线性方式去运动
随后
对话转向了AI在数学研究领域的直接应用
陶哲轩系统性地评估了AI当前的潜力
并且明确指出了AI与顶尖人类智能之间
目前难以逾越的一个本质鸿沟
那就是他称之为“数学嗅觉”（Mathematical Smell）的缺失
他认为
人与AI在研究层面的合作已经初现端倪
并且给出了一个具体的预测
到2026年就会出现人与AI合作的数学研究
成果或许还达不到菲尔兹奖的级别
但会是真正研究层面的数学论文
其中部分内容是由AI生成的
他本人也经常使用代码补全等AI工具来加速研究工作
并且把AI看做是出色的“计算助手”。
然而
当被问到AI能否独立完成菲尔兹奖级别的、类似格里戈里·佩雷尔曼解决庞加莱猜想那样的思想突破时
他的回答是清晰而否定的
他详细解释了佩雷尔曼的工作
核心在于引入“里奇流”（Ricci flow）
并且发展出“佩雷尔曼熵”等全新的概念
将一个棘手的“超临界”问题
转化为一个可控的“临界”问题
并且最终对所有可能出现的奇点
进行分类和“手术”。
这个过程
是长达数年、基于深刻物理直觉的探索
是一条需要巨大毅力才能走通的、前无古人的道路
陶哲轩对此断言
这完全不是今天的Transformer架构的AI或者大语言模型所能做到的
他进一步剖析了背后的原因
一个AI或许能在其庞大的可能性空间中
“碰巧”能生成佩雷尔曼用到的某个公式或概念
但是它无法像佩雷尔曼那样
凭借一种深刻的直觉
坚信这是唯一正确的方向
并且为之投入数年的光阴
AI可以生成选项
但是无法进行战略性的、具有长远信念的抉择
不过，陶哲轩也指出
大语言模型生成的数学内容
最令人头疼的地方在于它们常常“看起来完美无瑕”，
语法正确、逻辑链条完整
但是内部却可能包含任何一个受过训练的人都不会犯的、荒谬的低级错误
他将这种现象与编程行业中的术语“code smell”进行类比
一个有经验的程序员能够凭借着直觉
“闻到”一段代码中存在的问题
同样
顶尖数学家对一个证明策略、一个研究方向的好坏
也有一种直觉性的判断力
这就是所谓的“数学嗅觉”。
而AI生成的文本
由于它的训练目标是模仿正确的文本样式
所以常常是“没有气味”的
这使得发现其中的深层逻辑谬误
变得异常困难
所以，陶哲轩认为
一个顶尖数学家的工作
远不止是执行计算和逻辑推演
更重要的是对研究方向的战略判断
哪个问题值得投入精力？
哪条证明路径更有前景？
哪种问题的分解方式是化繁为简
而非化简为繁？
他将这种能力与AlphaGo在围棋领域的成功进行对比
AlphaGo之所以能战胜人类
并非只是因为它算得更远
而是因为它通过海量的学习
发展出了对“棋局”优劣的“嗅觉”。
陶哲轩预言
只有当AI也获得了对“证明策略”可行性的‘嗅觉’时
它们才可能开始与人类水平的数学家一较高下
在此之前
一个理想的AI助手应该扮演什么角色呢？
陶哲轩认为
我们正进入一个全新的范式
面对的是一个能理解复杂指令、可进行大规模工作
但是同时并不可靠的助手
这意味着人机协作的模式并非简单的任务分配
而是一个动态的、需要人类扮演最终战略决策者和“嗅觉”验证者的过程
人类的职责，是提出深刻的问题
设定正确的方向
并且利用自己深厚的“嗅觉”，
来审视和引导AI强大的、但可能是盲目的计算和生成能力
在被问到近年来积极投身到的形式化证明领域
陶哲轩坦言，他投身这一领域
是源于对传统研究方式低效的切身感受
他看到数学家们花费大量的时间进行重复性计算
或者在不熟悉的领域摸索
这促使他不断探索新的工作流程
几年前
他就敏锐地捕捉到了计算机辅助证明的潜力
并且组织相关研讨会
当ChatGPT引爆了AI浪潮之后
他进一步意识到自己不能只是停留在口头倡导
必须亲身实践
用行动来证实这个方向的价值
正如他所说
我不能仅仅凭借自己作为‘世界知名数学家’的权威
去告诉大家‘相信我
这将改变数学’，而自己却不投身其中
于是，他所引领的这场变革
核心在于用计算机可以完全理解和验证的代码
来重写数学
像Lean这样的形式化证明语言
让数学定理不再仅仅是人类头脑中的抽象概念和纸上的符号
而变成了可以被机器严格审查的、精确无误的数字化对象
陶哲轩解释道
这从根本上解决了一个困扰大规模数学协作的瓶颈
那就是信任
通过利用计算机的证明检查器
来确保过程中的每一步都准确无误
从而让证明的所有部分都能够兼容并且高度可靠
在这种新范式下
一个宏大复杂的证明可以被分解成数千个独立的、标准化的、可以被验证的“节点”或者“引理”。
这就像一张详尽的“蓝图”。
贡献者不需要通晓整个证明的全貌
只需要领取并且攻克自己负责的那个小模块即可
这种模式彻底改变了数学研究的生产关系
让它从一门以孤胆英雄为主的学科
演变为了像现代工业供应链那样
可以进行大规模、分布式、可信协作的工程
为了检验这个模式的威力
陶哲轩还与合作者们
发起了一个名为等式理论项目
的宏大计划
这个项目的目的
是完整描绘抽象代数领域中
大约4000条定律之间的相互推导关系
从而构成了大约2200万个需要被证明或者证伪的子问题
在过去
仅靠人力处理十几个类似的问题
就已经是极限了
但是在Lean和GitHub等协作平台的加持下
这个看似不可能的任务
吸引了全球大约50位数学家和程序员的参与
在访谈中
陶哲轩透露这个庞大的项目已经接近尾声
即将产出一篇有50位作者署名的论文
这在传统数学领域是极其罕见的
这次经历也让他深刻反思了科研协作模式的演进
他回忆起十年前参与的、早期的众包项目“Polymath”。
虽然这个项目的理念很先进
但是因为缺乏Lean这样的自动验证工具
所有贡献都需核心成员的人工审核
导致效率受限于巨大的瓶颈
当时团队采用了共同笔名的方式发表成果
却也带来了署名权不清、功劳归属模糊等问题
而在新的“等式理论项目”中
他们采用了更精细的贡献归属机制
所有的参与者都是正式作者
并且通过一个详尽的“贡献矩阵”来申明各自在概念构思、编程实现、结果验证等方面的具体工作
当AI拥有了形式化数学库和强大的计算能力后
它能否攻克那些困扰人类数百年、似乎需要全新概念才能突破的终极难题
比如孪生素数猜想和黎曼猜想呢？
以孪生素数为例
如果说素数是数学的原子
而孪生素数，比如 3 和 5
11 和 13，则是其中的 “双胞胎”。
这个猜想认为
存在这无穷多对相差 2 的素数
也是数论中最古老的未解之谜之一
2013 年
张益唐证明了存在无穷多对相差不超过 7000 万的素数
将问题推进了一大步
陶哲轩随后发起的 “Polymath 项目”，
通过全球数学家的协作
将这个差距缩小到了246
但是他也清醒地认识到
真正证明差为2
还需要突破 “奇偶性壁垒”，
这是一个类似于量子物理中 “对称性破缺” 的数学障碍
要想突破这个障碍
需要的不仅仅是更强的算力
而是一个全新的、可能来自完全不同领域的革命性思想
AI或许可以通过强化学习
将现有方法运用到极致
但是它能否“发明”出一种能绕过“奇偶性障碍”的、全新的数学思想呢？
陶哲轩对此持有开放但审慎的态度
他指出，对于孪生素数猜想
我们很大程度上仍然处于在“黑暗中摸索”的阶段
缺乏像庞加莱猜想那样一个由哈密尔顿提出的、明确的“里奇流”攻击方案
而对于另一个更著名的难题
黎曼猜想
这个猜想本质上是说，素数的分布
在刨除掉一些已知的局部规律后
会表现得和你所能期望的一样“随机”。
陶哲轩解释道，证明这一点极其困难
因为数学中我们恰恰缺乏有效的工具
去证明某个具体事物“真正具有随机性”。
任何可行的证明
都必须极其精确、巧妙地避开所有已知陷阱
不能有巨大的误差容忍度
他认为，用来解决黎曼猜想的工具
很可能与解决孪生素数猜想的工具截然不同
当被问到黎曼猜想是否会在我们有生之年被解决的时候
他坦率地表示
如果非要下注的话，他会赌不会
但是他真心希望自己会输掉这个赌
此外
陶哲轩还提到了其他几个尚未被解决的数学猜想
首先便是科拉茨猜想
1937 年
德国数学家洛塔尔・科拉茨（Lothar Collatz）提出了一个看上去好像孩童游戏的问题
给出一个任意正整数
若为偶数则除以 2
若为奇数则乘 3 加 1
重复操作是否最终都会到达到 1呢？
这个问题的魅力就在于它的简单性
任何一个小学生都能理解它的规则
却让最顶尖的数学家束手无策
陶哲轩在 2019 年的突破
在于证明了对于 “几乎所有” 的正整数
迭代序列会在有限步内降到 1000 以下
但是他也坦言
我们离真正的证明还差得很远
就像在大海中看到了一座岛屿
却找不到登陆的地方
这个问题的深层意义
在于揭示了简单规则与复杂动态的矛盾
就像气象学家爱德华・洛伦兹（Edward Lorenz）发现的蝴蝶效应一样
科拉茨序列中看似随机的波动
可能隐藏着尚未被发现的数学结构
陶哲轩甚至开玩笑的说到
如果我被外星人绑架
他们要求用一个数学问题证明人类值得存活
那么我会选 科拉茨猜想
因为它足够简单，又足够深刻
其次，在计算机科学的神殿中
P=NP 问题占据着至高无上的地位
是否存在一种算法
能够在多项式的时间内
解决所有可验证的问题呢？
如果 P=NP 成立
那么密码学、蛋白质折叠等难题将迎刃而解
但是同时也意味着所有智力劳动都可以被算法替代
陶哲轩对此的观点是谨慎的
虽然目前所有证据都指向 P≠NP
但是仍然缺乏数学工具来证明这一点
这就像在量子力学中
我们虽然知道波粒二象性存在
却无法用经典的语言来完全描述它
他参与的 “算法复杂性与数学证明” 项目
正是试图通过分析定理证明的计算复杂度
来找到 P 与 NP 之间的本质差异
比方说
证明一个数学定理可能需要指数级的尝试
而验证证明只需要多项式时间
这种不对称性可能是自然界的基本规律
正如他在斯坦福大学的讲座中所说的
如果 P=NP
那么数学创造将失去意义 ，但是好在
宇宙似乎更偏爱人类的创造力
在访谈中
陶哲轩与Fridman有几段对于数学家的精彩描述
让我们更能够了解他们神秘的生活和精神状态
首先是格里戈里・佩雷尔曼（Grigori Perelman）
2006 年
当它拒绝了菲尔兹奖和克莱研究所的百万奖金
选择在圣彼得堡的森林中采集蘑菇的时候
整个数学界为之震动
他对庞加莱猜想的证明
耗时七年闭门研究
完全依赖传统的纸笔演算
甚至拒绝使用电子邮件
这种极端的孤独主义
与陶哲轩的开放协作形成了鲜明对比
陶哲轩对佩雷尔曼的选择
表示了理解，他说
每个数学家都有自己的认知节奏
佩雷尔曼就像一个洞穴画家
需要完全沉浸在自己的思维世界中
才能捕捉到四维空间的几何轮廓
而我更像一个城市规划师
喜欢在不同的数学街区之间搭建桥梁
这种多样性恰恰是数学进步的动力
就好像有人负责凿开坚硬的理论岩层
有人负责铺设连通的知识道路
其次
安德鲁・怀尔斯（Andrew Wiles）证明费马大定理的故事
也是现代数学史上最具戏剧性的篇章
他在阁楼中独自工作七年
几乎耗尽了所有已知的数论工具
最终在岩泽理论与模形式之间
建立了前所未有的联系
当陶哲轩在普林斯顿见到这位前辈的时候
注意到他草稿纸上密密麻麻的计算痕迹
那些被划掉的公式、重新开始的推导
揭示了这项突破背后的艰辛
陶哲轩说，怀尔斯的证明告诉我们
有些数学高峰需要一代人的专注才能攀登
但是现在的情况不同了
我们有了Lean这样的登山装备
有了全球协作的登山队
这并不是要否定个人英雄主义
而是要让更多的人能够参与到这场永无止境的攀登中来
其实
陶哲轩自己的研究风格也深受多元背景的影响
他的父亲是儿科医生
母亲是物理教师，妻子是电气工程师
这种跨学科的家庭环境
让他自然地将不同领域的思维模型相互迁移
比方说
他从妻子设计的集成电路中获得灵感
在纳维-斯托克斯方程中构造 “能量隔离层”，
还从父亲诊断病人的过程中
学会了将复杂问题分解为可检验的子假设
在加州大学洛杉矶分校的办公室里
他的黑板上经常同时写着偏微分方程和机器学习公式
这种看似混乱的思维碰撞
实际则是刻意培养的 “认知流动性”。
正如他在《跨界思维与数学创新》一文中所说
当我们用流体力学的眼光来看数论
用算法设计的思维来解几何
数学的边界就会像融化的冰淇淋
展现出全新的形态
在AI技术浪潮席卷全球的背景下
关于“人类何去何从”的讨论不绝于耳
陶哲轩对此也有着自己深刻的思考
他首先强调
我们正在从个体英雄主义时代
步入一个更加依赖于“集体智慧”的时代
他以数学问答网站MathOverflow为例
这个线上社区
常常能够对极其艰深的问题
给出惊人迅速且高质量的解答
他评价道
当基础设施和文化环境都健康的时候
人类作为一个共同体
所能达到的智慧、成熟和理性
可以远超所有个体成员的总和
作为一个整体的数学界
它就是一个令人难以置信的超级智能实体
这种集体智慧的涌现
正是他对人类文明未来抱有希望的核心原因之一
这为我们思考未来的AI系统提供了新的视角
强大的智能或许并不体现在单一的、无所不能的“超级AI”上
而是在于由无数AI Agent和人类专家组成的、能够高效协作的、类似蜂群一样的混合智能系统
面对这样一个充满不确定性与巨大机遇的未来
年轻人应如何装备自己呢？
陶哲轩给出了自己的建议
那就是专注在培养可迁移的核心技能上
他警告说
学习某一门特定的编程语言或者数学分支
价值会随着工具的更新换代而衰减
真正恒久不变、而且在人机协作中不可替代的
是那些更根本的能力
比如运用抽象概念进行推理的能力
以及在面对全新未知问题时的解决能力
这些更底层的能力
是人类心智的基石
无论未来的AI工具变得多么强大
它们始终是驱动创新和解决复杂问题的核心
他还对标准化教育提出了批评
直言道
进化并没有直接赋予人类大脑一个所谓的数学中心
但是由于大脑的其他中枢足够精密
以至于不同的人可以调用大脑的不同区域来处理数学
比如有些人偏好视觉化思维
有些人则偏好符号化和语言化思维
但是标准化的教育模式
可能会因为无法匹配个体的天生认知风格
而过早地扼杀掉许多人对数学的兴趣
在采访的最后
当被问到 “数学是人类的发明还是发现” 时
陶哲轩陷入了长时间的思考
最终回答道，他倾向于认为
数学真理是客观存在的
就像等待被发掘的古代文明
但是我们用来描述这些真理的语言和工具
无疑是人类的发明
AI 的出现
让我们拥有了更强大的考古工具
但是挖掘的方向、解读的意义
仍然掌握在人类的手中
这似乎也在呼应哥德尔不完备定理的启示
数学永远存在无法被现有体系证明的真理
而人类的使命
就是不断扩展这个体系的边界
回到故事的起点
那个在澳大利亚地板上推演向量场的少年
如今已成为了数学宇宙的领航者
他的经历告诉我们，数学的魅力
既在于黎曼假设的深邃神秘
也在于挂谷问题的巧妙构造；
既需要佩雷尔曼的孤独坚守
也需要Polymath 项目的集体智慧
也许
当陶哲轩在 Lean 中输入最后一行的验证代码
当 AlphaProof 在屏幕上生成新的证明路径
我们不是见证人类的退场
而是目睹一场更伟大的时代拉开序幕
在这个时代
人类的智慧与算法的力量相互赋能
共同来书写宇宙最深刻的奥秘
好了
以上就是陶哲轩这次访谈的主要内容了
建议大家有时间去看原视频
感谢收看本期节目，我们下期再见
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